자이페르트 곡면

자이페르트 곡면 (Seifert surface)은 3차원 공간 내에 존재하는 매듭 또는 링크의 경계가 되는 방향성(orientable) 곡면이다. 즉, 주어진 매듭 또는 링크를 따라 펼쳐진 2차원 면으로, 뫼비우스의 띠와 같이 한 면으로만 이루어진 것이 아니라 안과 밖이 구분되는 곡면이다.

자이페르트 곡면은 매듭 이론에서 중요한 역할을 하며, 매듭의 다양한 불변량(invariant)을 계산하는 데 사용된다. 특히, 자이페르트 행렬(Seifert matrix)은 자이페르트 곡면으로부터 유도되며, 매듭 다항식(knot polynomial)과 같은 매듭 불변량을 계산하는 데 사용된다.

자이페르트 곡면을 찾는 방법은 자이페르트 알고리즘(Seifert's algorithm)으로 알려져 있으며, 이는 주어진 매듭 다이어그램으로부터 체계적으로 자이페르트 곡면을 구성하는 방법을 제공한다. 자이페르트 알고리즘은 매듭 다이어그램의 교차점을 제거하는 과정을 반복하며, 그 결과로 얻어지는 곡면이 자이페르트 곡면이 된다.

자이페르트 곡면은 일반적으로 유일하지 않으며, 동일한 매듭에 대해 여러 개의 다른 자이페르트 곡면이 존재할 수 있다. 이러한 자이페르트 곡면들은 서로 위상 동형(topologically equivalent)일 수도 있지만, 그렇지 않을 수도 있다.