외접원

외접원은 기하학에서 다각형의 모든 꼭짓점이 원 위에 있을 때, 그 원을 해당 다각형의 외접원이라고 한다. 다시 말해, 다각형의 각 꼭짓점을 지나도록 그린 원이다. 이때, 해당 다각형은 그 원에 내접한다고 말한다. 모든 다각형이 외접원을 가지는 것은 아니며, 특히 삼각형은 항상 외접원을 가진다.

성질

• 존재성: 삼각형은 항상 외접원을 가진다. 이는 삼각형의 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나기 때문이다. 이 교점이 외접원의 중심이 된다.
• 유일성: 주어진 삼각형에 대해 외접원은 유일하게 결정된다.
• 외심: 외접원의 중심을 외심이라고 한다. 외심은 삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점이다.
• 외접원의 반지름: 외접원의 반지름(R)은 삼각형의 넓이(A)와 세 변의 길이(a, b, c)를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.
  • R = abc / 4A
• 정다각형: 모든 정다각형은 외접원을 가진다. 정다각형의 외심은 그 중심과 일치한다.

활용

외접원은 기하학적 문제 해결, 특히 삼각형과 관련된 문제에서 중요한 도구로 사용된다. 예를 들어, 삼각형의 넓이, 변의 길이, 각도 등을 구하는 데 활용될 수 있다. 또한, 건축, 디자인 등 실생활에서도 외접원의 개념이 응용될 수 있다.