단체 가환환
단체 가환환은 대수학에서 중요한 개념 중 하나인 환의 특별한 종류입니다. 이는 0이 아닌 두 원소의 곱이 0이 되지 않는 성질을 갖는 0이 아닌 가환환을 의미합니다. 즉, 영인자(zero divisor)가 없는 0이 아닌 가환환을 말합니다. 단체 가환환은 정수론, 대수기하학 등 다양한 수학 분야에서 기초적인 역할을 합니다.
정의
환 $R$이 다음 세 가지 조건을 모두 만족할 때 단체 가환환(integral domain)이라고 합니다.
- $R$은 0 환({0})이 아니다. (즉, $R$은 적어도 두 개 이상의 원소를 갖는다.)
- $R$은 가환환이다. 즉, $R$의 모든 원소 $a, b$에 대해 $ab = ba$가 성립한다.
- $R$은 영인자를 갖지 않는다. 즉, $R$의 원소 $a, b$에 대해 $ab = 0$이면 $a = 0$ 또는 $b = 0$이다.
세 번째 조건은 '0이 아닌 두 원소의 곱은 0이 아니다' 또는 '소거법칙이 성립한다 (즉, $a \neq 0$이고 $ab = ac$이면 $b = c$이다)'와 동치입니다.
성질
환 $R$에 대해 다음 조건들은 서로 동치입니다.
- $R$은 단체 가환환이다.
- $R$은 0이 아닌 가환환이고, $R$의 모든 0이 아닌 원소 $a$에 대해 곱셈에 대한 왼쪽 소거법칙 ($ab = ac \implies b = c$)과 오른쪽 소거법칙 ($ba = ca \implies b = c$)이 성립한다. (가환성이 있으므로 왼쪽/오른쪽 소거법칙은 동일하다.)
- $R$은 0이 아닌 가환환이고, 아이디얼 {0}이 소 아이디얼(prime ideal)이다.
예시
- 정수환 ℤ: 두 정수의 곱이 0이면 둘 중 하나는 0이어야 하므로 정수환은 단체 가환환입니다.
- 체(Field): 모든 체는 0이 아닌 가환환이며, 0이 아닌 모든 원소가 역원을 가지므로 영인자가 없습니다. 따라서 모든 체는 단체 가환환입니다. 예를 들어, 유리수체 ℚ, 실수체 ℝ, 복소수체 ℂ, 소수 $p$에 대한 유한체 𝔽$_p$ 등이 있습니다.
- 체 위에서의 다항식 환 $k[x]$: 체 $k$ 위에서의 일변수 다항식들의 환은 단체 가환환입니다.
- 일반적으로, 단체 가환환 $R$ 위에서의 다항식 환 $R[x]$: 단체 가환환을 계수로 갖는 다변수 다항식 환도 단체 가환환입니다. (예: ℤ[x], ℚ[x, y])
비-예시
- n이 소수가 아닌 합성수일 때의 정수환 ℤ/nℤ: 예를 들어 ℤ/6ℤ에서 $2 \neq 0$, $3 \neq 0$ 이지만 $2 \cdot 3 = 6 \equiv 0 \pmod 6$ 입니다. 여기서 2와 3은 영인자입니다. 따라서 ℤ/6ℤ는 단체 가환환이 아닙니다.
- 환이 가환이 아닌 경우: 예를 들어, 2x2 실수 행렬의 환은 영인자가 존재하지만 가환환이 아니므로 단체 가환환의 정의를 만족하지 않습니다. 단체 가환환은 정의에 따라 반드시 가환환이어야 합니다.
관련 개념
단체 가환환은 다음과 같은 대수 구조의 계층에서 중요한 위치를 차지합니다.
- 체(Field) ⊂ 유클리드 정역(Euclidean Domain) ⊂ 주 아이디얼 정역(Principal Ideal Domain, PID) ⊂ 유일 인수분해 정역(Unique Factorization Domain, UFD) ⊂ 단체 가환환(Integral Domain) ⊂ 가환환(Commutative Ring)
이包含 관계는 '⊂' 기호의 왼쪽 집합이 오른쪽 집합의 부분 집합임을 의미합니다. 즉, 모든 체는 유클리드 정역이고, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이며, 모든 주 아이디얼 정역은 유일 인수분해 정역이고, 모든 유일 인수분해 정역은 단체 가환환이며, 모든 단체 가환환은 가환환입니다. 하지만 역은 일반적으로 성립하지 않습니다. 예를 들어 정수환 ℤ는 PID이자 UFD이지만 체가 아닙니다. ℤ[x]는 UFD이지만 PID가 아닙니다.
중요성
단체 가환환은 체의 개념을 일반화한 것으로 볼 수 있으며, 특히 단체 가환환 $R$로부터 분수체(field of fractions) $Frac(R)$를 구성할 수 있다는 점에서 중요합니다. 이는 정수환 ℤ로부터 유리수체 ℚ를 구성하는 것과 유사한 과정입니다. 분수체의 구성은 단체 가환환의 중요한 성질 중 하나인 '영인자가 없다'는 성질에 기반합니다.