사원수 벡터 공간

사원수 벡터 공간은 벡터 공간의 개념을 확장하여, 벡터의 스칼라 곱에 사원수를 사용하는 벡터 공간을 의미한다. 일반적인 벡터 공간에서는 스칼라 곱에 실수를 사용하지만, 사원수 벡터 공간에서는 스칼라 곱에 사원수를 사용한다는 점이 주요 차이점이다.

정의

사원수 벡터 공간은 다음과 같은 조건을 만족하는 집합 V이다.

1. 덧셈 연산: V의 임의의 두 원소 u, v에 대해 u + v ∈ V 이다.
2. 사원수 곱셈 연산: V의 임의의 원소 v와 사원수 q에 대해 qv ∈ V 이다.
3. 덧셈의 결합 법칙: V의 임의의 원소 u, v, w에 대해 (u + v) + w = u + (v + w) 이다.
4. 덧셈의 교환 법칙: V의 임의의 원소 u, v에 대해 u + v = v + u 이다.
5. 덧셈의 항등원: V에는 모든 v ∈ V에 대해 v + 0 = v를 만족하는 덧셈의 항등원 0이 존재한다.
6. 덧셈의 역원: V의 각 원소 v에 대해 v + (-v) = 0을 만족하는 덧셈의 역원 -v가 존재한다.
7. 사원수 곱셈의 분배 법칙: 임의의 사원수 p, q와 V의 임의의 원소 v에 대해 (p + q)v = pv + qv 이다.
8. 사원수 곱셈의 분배 법칙: 임의의 사원수 q와 V의 임의의 원소 u, v에 대해 q(u + v) = qu + qv 이다.
9. 사원수 곱셈의 결합 법칙: 임의의 사원수 p, q와 V의 임의의 원소 v에 대해 p(qv) = (pq)v 이다.
10. 곱셈의 항등원: V의 임의의 원소 v에 대해 1v = v를 만족하는 사원수 곱셈의 항등원 1이 존재한다. (여기서 1은 사원수 1을 의미)

특징

• 사원수는 비가환적인 대수 구조를 가지므로, 사원수 벡터 공간에서의 연산은 일반적인 실수 벡터 공간과는 다른 특성을 보인다. 예를 들어, 사원수 p, q와 벡터 v에 대해 일반적으로 pv ≠ vp이다.
• 사원수 벡터 공간은 3차원 공간의 회전 표현 등에 유용하게 사용될 수 있다.
• 사원수 벡터 공간은 양자 역학과 같은 분야에서도 응용된다.

예시

사원수 자체는 사원수 곱을 스칼라 곱으로 사용하는 사원수 벡터 공간의 예시가 될 수 있다.