에르미트 다양체

에르미트 다양체 (Hermitian manifold)는 복소다양체의 일종으로, 각 점의 접공간에 에르미트 내적이 정의되어 있는 다양체이다. 더 정확히는, 복소 다양체 $M$ 위에 다음과 같은 조건을 만족하는 텐서 $h$가 주어져 있을 때, $M$을 에르미트 다양체라고 한다.

• $h$는 $TM \otimes \overline{TM}$ 위에서 정의된 텐서이다. (여기서 $TM$은 $M$의 접다발, $\overline{TM}$은 그 복소켤레를 의미한다.)
• 각 점 $p \in M$에서, $h_p$는 접공간 $T_pM$ 위의 에르미트 내적이다. 즉, $h_p$는 복소 선형이고, 에르미트 대칭적이다.

에르미트 다양체는 리만 다양체의 복소수 버전으로 생각할 수 있다. 리만 다양체에서 계량 텐서가 거리와 각도를 정의하는 것처럼, 에르미트 내적은 복소 접공간 위에서 거리와 각도를 정의한다.

정의

복소다양체 $M$ 위의 에르미트 계량은 각 점 $p \in M$의 접공간 $T_p M$ 위에서 정의된 에르미트 내적 $h_p$들의 모임이다. 이러한 에르미트 계량은 텐서 $h$로 표현될 수 있으며, 다음 조건을 만족한다:

• $h$는 매끄럽게 변한다. 즉, $M$의 국소좌표계 $(z^1, \dots, z^n)$에서 $h = h_{i\bar{j}} dz^i \otimes d\bar{z}^j$로 표현될 때, 각 $h_{i\bar{j}}$는 매끄러운 함수이다.
• 각 점 $p \in M$에서, 행렬 $(h_{i\bar{j}}(p))$는 양의 정부호 행렬이다.

에르미트 계량이 주어지면, 우리는 이를 이용하여 $(1,1)$ 형식인 에르미트 형식을 정의할 수 있다:

$\omega = \frac{i}{2} h_{i\bar{j}} dz^i \wedge d\bar{z}^j$

성질

• 모든 켈러 다양체는 에르미트 다양체이다. (켈러 다양체는 에르미트 형식이 닫힌 형태인 에르미트 다양체이다.)
• 모든 복소 다양체는 에르미트 계량을 갖는다. (이는 분할의 일치(partition of unity)를 사용하여 증명할 수 있다.)

예시

• 복소 유클리드 공간 $\mathbb{C}^n$은 표준적인 에르미트 내적을 갖는 에르미트 다양체이다.
• 복소 사영 공간 $\mathbb{CP}^n$은 푸비니-슈투디 계량을 갖는 켈러 다양체이므로, 에르미트 다양체이다.

응용

에르미트 다양체는 복소 기하학, 복소 해석학, 끈 이론 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 특히, 켈러 다양체의 연구는 에르미트 다양체 이론의 중요한 부분을 차지하며, 물리학에도 광범위하게 응용된다.