아이젠슈타인 정수

아이젠슈타인 정수는 수학에서 사용되는 복소수의 일종으로, a + bω의 형태로 나타낼 수 있는 수입니다. 여기서 a와 b는 정수이며, ω는 1이 아닌 복소수 세제곱근 중 하나인 e^(i2π/3) = (-1 + i√3)/2를 의미합니다. 이 ω는 ω^2 + ω + 1 = 0 및 ω^3 = 1을 만족하는 원시 세제곱근입니다.

아이젠슈타인 정수 전체의 집합은 보통 ℤ[ω]로 표기되며, 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있어 환(ring)을 이룹니다. 이 환 ℤ[ω]는 대수적 정수론에서 중요한 성질들을 가집니다.

성질:

• ℤ[ω]는 정역(integral domain)입니다.
• ℤ[ω]는 유클리드 정역(Euclidean domain)입니다. 이는 아이젠슈타인 정수에 대한 나눗셈 알고리즘을 정의할 수 있음을 의미합니다. 유클리드 정역이므로 주 아이디얼 정역(principal ideal domain, PID)이며, 따라서 유일 인수분해 정역(unique factorization domain, UFD)이기도 합니다. 즉, 아이젠슈타인 정수는 (단원 곱을 무시하면) 아이젠슈타인 소수들로 유일하게 인수분해됩니다.
• 정규(Norm): 아이젠슈타인 정수 z = a + bω의 정규는 N(z) = z * z̄로 정의됩니다. 여기서 z̄는 z의 켤레 복소수입니다. 계산하면 N(a + bω) = a^2 - ab + b^2이 됩니다. 정규는 항상 음수가 아닌 정수이며, 곱셈적 성질 N(zw) = N(z)N(w)를 만족합니다.
• 단원(Units): 정규가 1인 아이젠슈타인 정수를 단원이라고 합니다. ℤ[ω]의 단원은 총 6개가 있으며, ±1, ±ω, ±ω^2입니다. 이들은 복소 평면 상에서 단위원 위의 정육각형의 꼭짓점을 이룹니다.
• 기하학적 구조: 아이젠슈타인 정수는 복소 평면 상에서 각 아이젠슈타인 정수를 점으로 나타낼 때, 정삼각형 격자(lattice) 형태를 이룹니다. 원점을 중심으로 하는 이 격자는 복소 평면을 합동인 정삼각형들로 나눕니다.

응용:

아이젠슈타인 정수는 3차 상호 법칙(cubic reciprocity)과 같은 대수적 정수론의 특정 정리들을 증명하는 데 유용하게 사용됩니다. 또한, 페르마의 마지막 정리에서 n=3인 경우의 증명에 응용되기도 합니다. 가우스 정수(ℤ[i])와 함께 대수적 정수환의 중요한 초기 사례로 연구됩니다.