라그랑주 다항식

라그랑주 다항식 (Lagrange polynomial)은 주어진 점들을 지나는 다항식을 찾는 방법 중 하나이다. 특히, 주어진 점의 개수만큼의 차수를 갖는 유일한 다항식을 생성한다. 이는 보간(interpolation) 문제를 해결하는 데 사용되며, n개의 점 (xᵢ, yᵢ) (i = 0, 1, ..., n-1)이 주어졌을 때, 이 모든 점을 지나는 n-1차 다항식을 생성한다.

라그랑주 다항식은 다음과 같은 식으로 표현된다:

P(x) = Σᵢ₌₀ⁿ⁻¹ yᵢ * lᵢ(x)

여기서 lᵢ(x)는 i번째 라그랑주 기저 다항식(Lagrange basis polynomial)이며, 다음과 같이 정의된다:

lᵢ(x) = Πⱼ₌₀,ⱼ≠ᵢⁿ⁻¹ (x - xⱼ) / (xᵢ - xⱼ)

즉, 각 lᵢ(x)는 xᵢ에서 1의 값을 가지고, 다른 xⱼ (j ≠ i) 에서는 0의 값을 갖는 다항식이다. 이러한 성질을 이용하여, yᵢ * lᵢ(x) 는 xᵢ에서 yᵢ의 값을 가지고, 다른 주어진 점에서는 0의 값을 갖게 된다. 따라서, 모든 항을 합하면 주어진 모든 점을 지나는 다항식 P(x)를 얻을 수 있다.

라그랑주 다항식은 계산이 비교적 간단하고 직관적이라는 장점이 있지만, 점의 개수가 많아지면 다항식의 차수가 높아져서 룬게 현상(Runge's phenomenon)과 같은 수치적 불안정성이 발생할 수 있다. 따라서, 많은 점을 보간해야 할 경우에는 다른 보간 방법(예: 스플라인 보간)을 고려하는 것이 더 효율적일 수 있다.