교환 행렬

교환 행렬 (Permutation Matrix)은 단위 행렬의 행들을 서로 교환하여 얻을 수 있는 정사각 행렬이다. 다시 말해, 각 행과 각 열에 정확히 하나의 1을 가지고, 나머지 모든 원소는 0인 행렬이다. 이러한 특징 때문에 교환 행렬은 항상 가역 행렬이며, 그 역행렬은 전치 행렬과 같다 (즉, P⁻¹ = Pᵀ).

정의 및 특징:

• 정의: n x n 교환 행렬 P는 n x n 단위 행렬 Iₙ의 행들을 재배열하여 얻어진다.

• 원소: P의 각 행과 각 열에는 정확히 하나의 1이 존재하며, 나머지 원소는 모두 0이다.

• 가역성: 모든 교환 행렬은 가역 행렬이며, 그 역행렬은 전치 행렬과 같다. 즉, P⁻¹ = Pᵀ.

• 행렬 곱: 행렬 A에 교환 행렬 P를 곱하면, A의 행들이 P에 의해 정의된 방식으로 교환된다. 예를 들어, PA는 A의 행들을 교환한 행렬이 된다. AP는 A의 열들을 교환한 행렬이 된다.

• 직교 행렬: 교환 행렬은 각 행과 각 열이 정규 직교 벡터를 이루기 때문에 직교 행렬이다.

• 행렬식: 교환 행렬의 행렬식은 1 또는 -1이다. 행 교환 횟수가 짝수이면 1, 홀수이면 -1이다.

활용:

• 선형 대수: 선형 연립 방정식의 해를 구하거나 행렬의 분해 과정에서 행 교환을 표현하는 데 사용된다.

• 컴퓨터 과학: 데이터 정렬, 암호화 등 다양한 알고리즘에서 데이터의 순서를 바꾸는 데 활용될 수 있다.

• 암호학: 특정 치환 암호를 구현하는 데 사용될 수 있다.