코시 응집판정법

코시 응집판정법은 수학에서 무한 급수의 수렴성을 판정하는 방법 중 하나이다. 특히 항이 양수이고 감소하는 급수에 유용하게 사용된다. 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름을 따서 명명되었다.

정의 및 판정

양수 항으로 이루어진 무한 급수 ∑ a_n (n=1부터 무한대까지)가 있다고 가정하자. 여기서 a_n은 n에 대해 감소하는 수열, 즉 a_n+1 ≤ a_n을 만족해야 한다.

이때, 원래의 급수 ∑ a_n이 수렴할 필요충분조건은 "응집된" 급수 ∑ 2^k a_2^k (k=0 또는 1부터 무한대까지, 시작 인덱스는 정의에 따라 약간 다를 수 있으나 결과는 동일함)가 수렴하는 것이다.

다시 말해, 다음 두 명제는 동치이다.

1. 급수 ∑ a_n이 수렴한다.
2. 급수 ∑ 2^k a_2^k가 수렴한다.

적용 조건

코시 응집판정법을 적용하기 위해서는 다음과 같은 조건이 충족되어야 한다.

• 급수의 모든 항이 양수여야 한다 (a_n > 0).
• 급수의 항들이 감소하는 수열을 이루어야 한다 (a_n+1 ≤ a_n).

활용 및 예시

이 판정법은 p-급수 ∑ 1/n^p (p > 0)의 수렴성을 판정할 때 매우 유용하게 사용된다. p-급수 ∑ 1/n^p에 대해 응집된 급수를 구성하면 ∑ 2^k (1/(2^k)^p) = ∑ 2^k / 2^kp = ∑ 2^k(1-p)가 된다.

이 응집된 급수는 기하급수의 형태를 가진다. 기하급수 ∑ r^k는 공비 |r| < 1일 때 수렴한다. 여기서 공비는 2^1-p이다.

• 만약 p > 1이면, 1-p < 0이므로 2^1-p = (1/2)^p-1 < 1이 된다. 따라서 응집된 급수는 수렴하고, 원래의 p-급수도 수렴한다.
• 만약 0 < p ≤ 1이면, 1-p ≥ 0이므로 2^1-p ≥ 1이 된다. 따라서 응집된 급수는 발산하고, 원래의 p-급수도 발산한다. (p=1일 경우 2⁰=1이므로 발산).

따라서 코시 응집판정법을 통해 p-급수 ∑ 1/n^p는 p > 1일 때 수렴하고 0 < p ≤ 1일 때 발산함을 쉽게 판정할 수 있다.

역사

이 판정법은 19세기 초 오귀스탱 루이 코시에 의해 개발되었다.