케일리 변환

케일리 변환은 선형대수학에서 자기 수반 작용소(self-adjoint operator) 또는 대칭 행렬과 유니타리 작용소(unitary operator) 또는 유니타리 행렬 사이의 관계를 나타내는 변환이다. 특히, 복소 힐베르트 공간 위의 닫힌 조밀하게 정의된 연산자 A에 대해 정의되는 유계 연산자 U = (A - iI) (A + iI)⁻¹ 를 의미하며, 여기서 I는 항등 연산자이고 i는 허수 단위이다. 이 연산자 U를 A의 케일리 변환이라고 부른다.

케일리 변환은 실 Hilbert 공간에서도 유사하게 정의될 수 있다. 이 경우, i 대신 임의의 허수 (예: ai, a는 0이 아닌 실수)를 사용할 수 있다.

정의

자기 수반 연산자 A의 케일리 변환 U는 다음과 같이 정의된다.

U = (A - iI) (A + iI)⁻¹

여기서:

• A는 자기 수반 연산자이다.
• I는 항등 연산자이다.
• i는 허수 단위이다.
• (A + iI)⁻¹ 는 (A + iI)의 역연산자이다.

성질

케일리 변환은 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다.

• U는 유니타리 연산자이다. 즉, U U† = U† U = I 이다. (여기서 U†는 U의 켤레 전치 연산자이다.)
• A는 U로부터 유일하게 결정된다.
• 자기 수반 연산자의 스펙트럼 분석에 유용하게 사용된다.

응용

케일리 변환은 다양한 분야에서 응용된다.

• 작용소 이론: 자기 수반 연산자를 연구하는 데 사용된다.
• 스펙트럼 이론: 자기 수반 연산자의 스펙트럼을 분석하는 데 사용된다.
• 양자역학: 양자역학적 시스템을 기술하는 데 사용된다.
• 수치해석: 행렬 지수 함수를 계산하는 데 사용될 수 있다.

예시

간단한 예로, 2x2 실수 대칭 행렬 A = [[a, b], [b, c]] 에 대해 케일리 변환을 적용하여 얻는 유니타리 행렬을 계산할 수 있다.

참고 문헌

• (참고 문헌 정보는 필요에 따라 추가)