에발트 구면
에발트 구면(Ewald sphere)은 결정학에서 회절 실험(X선 회절, 전자 회절, 중성자 회절 등)의 조건을 기하학적으로 시각화하기 위해 사용되는 개념입니다. 독일 물리학자 파울 페터 에발트(Paul Peter Ewald)가 고안했습니다.
개요
회절은 결정 격자에 의해 산란된 파동이 특정 방향에서 보강 간섭을 일으킬 때 발생합니다. 에발트 구면은 이러한 회절이 발생하는 조건을 역격자 공간에서 시각화하는 데 사용됩니다. 역격자는 실제 공간의 결정 격자에 대응하는 개념으로, 각 점은 결정면의 족(family of planes)을 나타냅니다.
구성 요소
에발트 구면은 주로 다음 요소들을 포함하는 역격자 공간의 기하학적 구성입니다.
- 역격자(Reciprocal lattice): 회절이 일어나는 결정의 역격자 공간에 점들이 배열되어 있습니다.
- 입사파 벡터(Incident wave vector, $\mathbf{k}_i$): 입사하는 파동(X선, 전자 등)의 방향과 파수를 나타내는 벡터입니다. 그 크기는 $2\pi/\lambda$이며, $\lambda$는 파장입니다. 이 벡터는 역격자 공간의 원점(O)을 향하도록 배치됩니다.
- 에발트 구면: 입사파 벡터 $\mathbf{k}_i$의 시작점을 역격자 공간의 원점 O에 놓고, 그 끝점(회절 장치의 중심 또는 결정의 위치에 해당하며, 역격자 공간에서는 원점으로부터 $-\mathbf{k}_i$ 위치)을 구면의 중심으로 하는 구입니다. 이 구의 반지름은 입사파 벡터의 크기인 $|\mathbf{k}_i| = 2\pi/\lambda$와 같습니다. 입사 빔은 이 구면의 중심을 통과하며, 입사 빔의 시작점(역격자 공간 원점 O)은 구면의 표면 위에 놓입니다.
- 회절파 벡터(Diffracted wave vector, $\mathbf{k}_f$): 결정에 의해 산란되어 나가는 파동의 벡터입니다. 탄성 산란(파장의 변화가 없는 경우)의 경우 입사파 벡터와 같은 크기($|\mathbf{k}_f| = |\mathbf{k}_i|$)를 가집니다. 이 벡터는 역격자 공간의 원점 O에서 시작하여 에발트 구면 표면 위의 한 점을 향합니다.
회절 조건
에발트 구면 구성에서 회절이 일어나기 위한 조건은 역격자 공간의 한 점(역격자 벡터 $\mathbf{G}$에 해당하는 점)이 에발트 구면의 표면 위에 놓일 때입니다.
이 조건을 벡터로 표현하면 다음과 같습니다. 입사파 벡터 $\mathbf{k}_i$는 역격자 원점 O에서 시작하여 에발트 구면의 중심(C)을 향하는 벡터의 반대 방향($-\mathbf{k}_i$)입니다. 즉, 구면 중심 C의 위치는 역격자 원점 O로부터 $-\mathbf{k}_i$ 떨어진 곳입니다. 회절이 일어나 역격자점 G에서 회절파가 발생했다면, 회절파 벡터 $\mathbf{k}_f$는 역격자 원점 O에서 역격자점 G까지의 벡터가 됩니다. 이 점 G는 구면 표면 위에 있습니다. 따라서 벡터 합에 의해 O에서 G까지의 벡터 $\mathbf{G}$는 O에서 C까지의 벡터(즉, $-\mathbf{k}_i$)와 C에서 G까지의 벡터($\mathbf{k}_f$, 반지름 벡터이므로 크기가 $|\mathbf{k}_f|=|\mathbf{k}_i|$이고 G를 향함)의 합이 됩니다. $\mathbf{G} = (-\mathbf{k}_i) + \mathbf{k}_f$ $\mathbf{k}_f - \mathbf{k}_i = \mathbf{G}$
이 관계식은 회절파 벡터 $\mathbf{k}_f$, 입사파 벡터 $\mathbf{k}_i$, 그리고 역격자 벡터 $\mathbf{G}$ 사이의 관계를 나타내며, 이는 라우에 방정식(Laue equations) 또는 브래그 법칙(Bragg's Law)을 역격자 공간으로 표현한 것과 정확히 일치하는 회절 조건입니다.
활용
에발트 구면은 특정 파장과 입사 방향에 대해 어떤 결정면에서 회절이 일어날 수 있는지를 직관적으로 이해하고 시각화하는 데 매우 유용합니다. 결정의 방향을 바꾸거나 파장을 변경하면 에발트 구면의 위치나 크기가 변하게 되어, 어떤 역격자점들이 구면과 교차하는지(즉, 어떤 회절 피크가 관찰되는지) 달라지는 것을 쉽게 파악할 수 있습니다. 이는 회절 패턴을 해석하고 실험 조건을 설계하는 데 중요한 역할을 합니다.