내부 (위상수학)

정의: 위상수학에서 집합 A의 내부(interior)는 A에 속하는 모든 점들이 A의 내점(interior point)인 점들의 집합으로 정의됩니다. 내점이란, 그 점을 포함하는 어떤 열린 집합이 A에 완전히 포함되는 점을 의미합니다. 다르게 말하면, A의 내부는 A에 포함되는 가장 큰 열린 집합입니다.

표기: 집합 A의 내부는 일반적으로 Int(A), A°, 또는 A^o 로 표기합니다.

성질:

• A는 항상 자신의 내부의 부분집합이다: Int(A) ⊆ A. 즉, A의 모든 내점은 A에 속합니다.
• A의 내부는 열린 집합이다: A의 내부는 항상 열린 집합이며, 따라서 A의 내부는 항상 자기 자신과 같은 내부를 가집니다. 즉, Int(Int(A)) = Int(A).
• A가 열린 집합이라면, A의 내부는 A와 같다: A = Int(A).
• 공집합의 내부는 공집합이다: Int(∅) = ∅.
• 전체 공간의 내부는 전체 공간이다: 만약 X가 전체 공간이라면, Int(X) = X.
• 내부 연산은 단조 증가 함수이다: 만약 A ⊆ B 라면, Int(A) ⊆ Int(B).
• 두 집합의 합집합의 내부는 각 집합의 내부의 합집합의 부분집합이다: Int(A∪B) ⊇ Int(A)∪Int(B) (반대 방향의 포함관계는 일반적으로 성립하지 않음).
• 두 집합의 교집합의 내부는 각 집합의 내부의 교집합과 같다: Int(A∩B) = Int(A)∩Int(B).

관련 개념:

• 폐포(Closure): 집합의 폐포는 그 집합과 그 집합의 모든 극한점을 포함하는 집합입니다. 내부와 폐포는 서로 보완적인 개념입니다.
• 경계(Boundary): 집합의 경계는 그 집합의 폐포와 내부의 차집합입니다.
• 외부(Exterior): 집합의 외부는 그 집합의 폐포의 여집합입니다.

예시:

(구체적인 예시는 코드나 이미지 없이 설명하기 어려우므로 생략합니다. 예를 들어 유클리드 공간에서 구간 [0,1]의 내부는 (0,1)이 됩니다.)

참고: 위상 공간의 정의에 따라 내부의 정의는 달라질 수 있습니다. 위의 설명은 일반적인 위상 공간에서의 정의를 기반으로 합니다.