그린 항등식

그린 항등식은 벡터 미적분학에서 발산 정리 또는 스토크스 정리의 특수한 경우로 볼 수 있는 일련의 항등식들을 지칭한다. 이 항등식들은 스칼라 함수와 벡터장의 도함수들 간의 관계를 나타내며, 물리학, 특히 전자기학 및 유체역학에서 널리 사용된다.

가장 일반적인 형태의 그린 항등식은 다음과 같다. Ω를 ℝⁿ 공간의 열린 집합이라고 하고, u와 v를 Ω에서 정의된 충분히 미분 가능한 스칼라 함수라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

∫Ω (uΔv - vΔu) dV = ∫∂Ω (u(∂v/∂n) - v(∂u/∂n)) dS

여기서 Δ는 라플라스 연산자이고, ∂/∂n은 Ω의 경계 ∂Ω에 대한 외향 법선 방향으로의 방향 도함수를 나타낸다. dV는 Ω에 대한 부피 적분 요소이고, dS는 ∂Ω에 대한 표면 적분 요소이다.

이 항등식은 부분 적분을 여러 번 적용하여 유도할 수 있으며, 발산 정리와 밀접하게 관련되어 있다. 특히, u가 라플라스 방정식 Δu = 0을 만족하는 경우, u는 조화 함수라고 불리며, 그린 항등식은 조화 함수의 성질을 연구하는 데 유용한 도구가 된다.

그린 항등식은 다양한 형태가 존재하며, 응용 분야에 따라 적절한 형태를 선택하여 사용한다. 예를 들어, 2차원 공간에서는 그린 정리를 사용하여 선적분을 면적분으로 변환할 수 있으며, 이는 복소해석학에서 코시 적분 공식을 유도하는 데 사용될 수 있다. 또한, 3차원 공간에서는 벡터장의 발산과 회전을 포함하는 그린 항등식이 존재하며, 이는 전자기장의 성질을 분석하는 데 활용된다.