판별식

판별식 (判別式, discriminant)은 대수학에서 주로 이차방정식, 더 나아가 고차 방정식의 근의 종류를 판별하는 데 사용되는 식이다. 일반적으로 계수가 실수인 다항식에 대해 정의되며, 특히 이차방정식의 경우 근의 개수와 성질을 쉽게 파악할 수 있도록 해준다.

정의

이차방정식 ax² + bx + c = 0 (단, a ≠ 0)의 판별식 D는 다음과 같이 정의된다.

D = b² - 4ac

의미 및 활용

판별식의 값에 따라 이차방정식의 근은 다음과 같이 결정된다.

• D > 0: 서로 다른 두 실근을 가진다.
• D = 0: 중근(실근)을 가진다.
• D < 0: 서로 다른 두 허근을 가진다.

이러한 성질을 이용하여 판별식은 방정식의 해를 구하지 않고도 해의 종류를 판단하거나, 특정 조건을 만족하는 해를 갖도록 하는 계수의 범위를 결정하는 데 유용하게 사용된다. 예를 들어, 이차함수의 그래프와 x축의 교점 개수를 판단하거나, 이차부등식의 해를 구할 때 활용될 수 있다.

일반화

판별식의 개념은 이차방정식뿐만 아니라 삼차방정식, 사차방정식 등 고차 방정식으로도 확장될 수 있다. 고차 방정식의 판별식은 방정식의 계수들을 이용하여 복잡한 형태로 표현되며, 역시 근의 종류와 개수를 판별하는 데 사용된다. 그러나 고차 방정식의 판별식은 계산이 복잡하고 해석이 어려워지는 경향이 있다.

관련 개념

• 이차방정식
• 근의 공식
• 허근
• 중근
• 실근