카르티에 인자

카르티에 인자 (Cartier divisor)는 대수기하학에서 대수다양체의 국소적으로 정의된 유리형 함수들의 비로 표현되는 개념이다. 이들은 Weil 인자와 유사하지만, 특이점을 갖는 다양체에서도 잘 정의되며, 가역층(invertible sheaf)과 밀접한 관련을 갖는다.

정의:

대수다양체 X 위의 카르티에 인자는 (Ui, fi)의 모임으로 정의된다. 여기서 {Ui}는 X의 열린 덮개이고, fi는 Ui 위에서 정의된 유리형 함수로서 다음 조건을 만족한다.

• 각 Ui에서 fi는 0이 아닌 유리형 함수이다.
• 각 Ui ∩ Uj 에서 fi/fj는 정칙 함수이고 0이 아니다 (즉, Ui ∩ Uj 위에서 가역적이다).

두 카르티에 인자 (Ui, fi)와 (Vi, gi)가 선형 동치(linearly equivalent)라는 것은, X 위에서 정의된 유리형 함수 h가 존재하여 각 Ui ∩ Vi에서 fi/gi = h를 만족하는 경우를 말한다.

성질 및 중요성:

• 카르티에 인자는 가역층과 일대일 대응 관계를 가진다. 카르티에 인자 D = (Ui, fi)에 대응하는 가역층은, 국소적으로 OUi (OUi는 Ui 위의 정칙 함수들의 층)을 fi-1배하여 얻어진다.

• Weil 인자와 달리, 특이점을 갖는 다양체에서도 잘 정의될 수 있다.

• 카르티에 인자는 교차 이론(intersection theory)과 깊은 관련을 가지며, 대수다양체의 기하학적 성질을 연구하는 데 중요한 도구로 사용된다.

• 정칙 사상(regular morphism) f: Y → X에 대하여, X 위의 카르티에 인자 D는 Y 위로 당겨올 수 있다(pullback).

예시:

• 아핀 공간 A^n에서, 단일 다항식 f로 정의되는 초곡면(hypersurface)은 카르티에 인자를 정의한다.

• 사영 공간 P^n에서, 동차 다항식 f로 정의되는 초곡면 역시 카르티에 인자를 정의한다.

관련 개념:

• 바일 인자 (Weil divisor)
• 가역층 (Invertible sheaf, line bundle)
• 교차 이론 (Intersection theory)
• 대수다양체 (Algebraic variety)
• 유리형 함수 (Rational function)