조합
조합은 수학의 한 분야인 조합론에서 다루는 개념으로, 주어진 집합에서 순서를 고려하지 않고 일정한 개수의 원소를 선택하는 방법의 수를 의미한다. 예를 들어, {1, 2, 3}이라는 집합에서 2개의 원소를 선택하는 조합은 {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}의 세 가지가 있으며, 이를 ₃C₂ 또는 ₃C₂ 로 표기하고, 3개 중 2개를 선택하는 조합의 수는 3이다. 여기서 순서를 고려하지 않기 때문에 {1, 2}와 {2, 1}은 같은 조합으로 취급된다. 순서를 고려하는 경우는 순열이라 한다.
기호: 조합은 일반적으로 nCr, ⁿCᵣ, 또는 nCr 와 같이 표기하며, 이는 n개의 원소를 가진 집합에서 r개의 원소를 선택하는 조합의 수를 나타낸다. 여기서 n과 r은 모두 비음의 정수이며, n ≥ r 이어야 한다.
계산: nCr의 값은 다음과 같은 공식으로 계산된다.
nCr = n! / (r! * (n-r)!)
여기서 n!은 n의 계승(factorial)을 나타내며, n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1 이다. 0!은 1로 정의된다.
예시:
- ₅C₂ = 5! / (2! * 3!) = (5 × 4) / (2 × 1) = 10
이는 5개의 원소를 가진 집합에서 2개의 원소를 선택하는 조합의 수가 10가지임을 의미한다.
응용: 조합은 확률, 통계, 암호학 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 로또 당첨 확률 계산, 카드 게임의 경우의 수 계산, 비밀번호 조합 생성 등에 사용된다. 조합의 개념은 이산수학의 기초적인 개념 중 하나이며, 더 복잡한 조합 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 한다.