순서쌍

순서쌍 (Ordered pair) 은 두 대상의 순서가 정해진 쌍을 의미한다. 즉, 두 대상 a와 b로 이루어진 순서쌍은 (a, b)로 표기하며, (a, b)와 (b, a)는 일반적으로 서로 다른 순서쌍으로 간주된다. 이는 단순한 집합 {a, b}가 a와 b의 순서를 고려하지 않는 것과 대조적이다.

정의

순서쌍은 집합론적인 개념을 사용하여 엄밀하게 정의될 수 있다. 가장 일반적인 정의는 쿠라토프스키(Kuratowski)의 정의로, 다음과 같다.

(a, b) := { {a}, {a, b} }

이 정의에 따르면 순서쌍 (a, b)는 a와 b의 순서를 나타내는 특정한 집합으로 표현된다. 다른 정의 방법도 존재하지만, 쿠라토프스키의 정의가 가장 널리 사용된다.

특징 및 성질

• 순서의 중요성: 순서쌍 (a, b)에서 a는 첫 번째 원소, b는 두 번째 원소라고 불린다. a와 b가 같더라도 순서가 다르면 다른 순서쌍으로 취급된다. 즉, (a, b) = (c, d) 이면 a = c 이고 b = d 이다.
• 데카르트 곱: 순서쌍은 데카르트 곱(Cartesian product)의 정의에 사용된다. 두 집합 A와 B의 데카르트 곱 A × B는 A의 원소와 B의 원소로 이루어진 모든 가능한 순서쌍의 집합을 의미한다. A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
• 관계와 함수: 수학에서 관계(relation)는 집합들의 데카르트 곱의 부분집합으로 정의되며, 함수(function)는 특정 조건을 만족하는 관계이다. 따라서 순서쌍은 관계와 함수를 정의하는 데 필수적인 요소이다.

활용

순서쌍은 수학의 다양한 분야에서 활용된다.

• 좌표계: 평면 좌표계에서 점의 위치는 x좌표와 y좌표의 순서쌍 (x, y)로 나타내어진다. 공간 좌표계에서는 세 개의 좌표 (x, y, z)로 이루어진 순서쌍을 사용하여 점의 위치를 나타낸다.
• 그래프: 그래프 이론에서 그래프는 정점(vertex)과 간선(edge)으로 구성되며, 간선은 두 정점의 순서쌍으로 표현될 수 있다(방향 그래프의 경우).
• 데이터베이스: 데이터베이스에서 레코드(record)는 여러 필드(field)의 값으로 이루어진 순서쌍으로 표현될 수 있다.

순서쌍은 수학적 개념을 명확하게 정의하고 표현하는 데 중요한 역할을 한다.