힐베르트의 호텔

힐베르트의 호텔은 무한한 수의 방을 가진 가상의 호텔로, 독일의 수학자 다비트 힐베르트가 무한의 개념을 설명하기 위해 고안한 사고 실험이다. 이 호텔은 무한 집합의 독특한 성질을 직관적으로 보여주며, 특히 가산 무한과 관련된 역설적인 상황을 제시한다.

개요

힐베르트의 호텔은 각 방에 번호가 매겨진 무한히 많은 방을 가지고 있다. 모든 방에 손님이 투숙하고 있는 상황에서도 새로운 손님을 얼마든지 수용할 수 있다는 점이 핵심적인 내용이다.

사고 실험

• 새로운 손님의 도착: 호텔이 만실인 경우에도 새로운 손님이 도착하면, 기존의 1번 방 손님을 2번 방으로, 2번 방 손님을 3번 방으로, n번 방 손님을 n+1번 방으로 옮기는 방식으로 모든 손님을 한 칸씩 옮겨 새로운 손님을 1번 방에 투숙시킬 수 있다.

• 무한한 수의 손님의 도착: 만약 무한한 수의 손님이 도착한다면, 기존의 1번 방 손님을 2번 방으로, 2번 방 손님을 4번 방으로, n번 방 손님을 2n번 방으로 옮기는 방식으로 모든 손님을 짝수 번호 방으로 옮기고, 새로 도착한 무한한 수의 손님을 홀수 번호 방에 투숙시킬 수 있다.

함의

힐베르트의 호텔 사고 실험은 다음과 같은 점을 시사한다.

• 무한 집합은 유한 집합과는 다른 독특한 성질을 가지고 있다.
• 무한 집합은 자신의 진부분집합과 크기가 같을 수 있다 (가산 무한).
• 직관에 반하는 무한의 개념을 이해하는 데 도움을 준다.

같이 보기

• 무한
• 가산 무한
• 집합론
• 다비트 힐베르트