합집합

합집합은 집합론에서 두 개 이상의 집합에 대해, 각 집합의 모든 원소를 포함하는 집합을 의미한다. 즉, 집합 A와 집합 B의 합집합은 A에 속하거나 B에 속하는 모든 원소들의 모임으로 구성되며, A ∪ B로 표기한다.

정의

두 집합 A와 B의 합집합 A ∪ B는 다음과 같이 정의된다.

A ∪ B = {x | x ∈ A 또는 x ∈ B}

여기서 '∪' 기호는 합집합 연산을 나타내며, '∈' 기호는 원소가 집합에 속함을 나타낸다. 즉, 합집합 A ∪ B는 'x가 A의 원소이거나 B의 원소인 모든 x들의 집합'이라고 읽을 수 있다.

성질

합집합은 다음과 같은 기본적인 성질을 갖는다.

• 교환 법칙: A ∪ B = B ∪ A (합집합의 순서는 결과에 영향을 미치지 않는다.)
• 결합 법칙: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (여러 집합의 합집합을 구할 때, 연산 순서는 결과에 영향을 미치지 않는다.)
• 멱등 법칙: A ∪ A = A (자기 자신과의 합집합은 자기 자신이다.)
• 공집합: A ∪ ∅ = A (공집합과의 합집합은 원래 집합이다.)
• 전체집합: A ∪ U = U (전체집합과의 합집합은 전체집합이다. U는 전체집합을 의미.)
• 부분집합: 만약 A ⊆ B 이면, A ∪ B = B (A가 B의 부분집합이면, A와 B의 합집합은 B이다.)

예시

• A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5}일 때, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}
• A = {a, b, c}, B = {c, d, e}일 때, A ∪ B = {a, b, c, d, e}

합집합은 벤 다이어그램을 이용하여 시각적으로 표현할 수 있다. 벤 다이어그램에서 합집합은 각 집합에 해당하는 영역을 모두 포함하는 영역으로 나타난다.

합집합은 집합론의 기본적인 연산 중 하나이며, 수학, 논리학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 활용된다.