패러볼로이드

패러볼로이드 (Paraboloid)는 2차 곡면의 일종으로, 포물선을 축을 중심으로 회전시켜 얻어지는 3차원 도형이다. 흔히 '포물면'이라고도 불린다.

정의

패러볼로이드는 일반적으로 다음과 같은 방정식으로 표현된다.

• 타원 포물면: z = x²/a² + y²/b² (a, b는 상수)
• 쌍곡 포물면: z = x²/a² - y²/b² (a, b는 상수)

종류

• 타원 포물면 (Elliptic Paraboloid): 모든 수직 단면이 타원 또는 원인 경우이다. a = b인 경우, 회전 포물면이라고도 하며, 모든 수직 단면이 원이 된다. 오목 거울이나 위성 안테나 등에 활용된다.
• 쌍곡 포물면 (Hyperbolic Paraboloid): 안장 모양을 가지며, 수직 단면이 쌍곡선인 경우이다. 독특한 형태 때문에 건축 구조물에 사용되기도 한다.

특징

• 타원 포물면: 한 방향으로 오목한 형태를 가지며, 모든 평행한 입사 광선이 초점에 모이는 성질을 가진다. 이 성질은 빛이나 전파를 모으는 데 유용하게 사용된다.
• 쌍곡 포물면: 두 방향으로 휘어진 안장 모양으로, 모든 직선을 포함하는 유일한 곡면이다.

활용

패러볼로이드는 다양한 분야에서 활용된다.

• 광학: 타원 포물면은 오목 거울, 위성 안테나 등 빛이나 전파를 모으는 장치에 사용된다.
• 건축: 쌍곡 포물면은 독특한 형태와 구조적 안정성 때문에 지붕이나 쉘 구조물에 사용된다.
• 수학: 패러볼로이드는 3차원 공간에서 곡면을 연구하는 데 중요한 예시로 사용된다.

참고

패러볼로이드는 포물선과 밀접한 관련이 있으며, 이차 곡면의 중요한 예시 중 하나이다.