파스칼의 삼각형

파스칼의 삼각형은 수학에서 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 것이다. 프랑스의 수학자 블레즈 파스칼의 이름을 따 명명되었지만, 파스칼 이전에도 이미 인도, 페르시아, 중국 등 여러 문화권에서 연구되었다.

정의

파스칼의 삼각형은 다음과 같은 방식으로 구성된다.

1. 가장 윗줄에는 숫자 1을 쓴다.
2. 그 다음 줄부터는, 바로 윗줄의 숫자 두 개를 더하여 다음 줄의 숫자를 만든다. 양쪽 끝에는 항상 1을 쓴다.

예를 들어, 4번째 줄은 1, 3, 3, 1로 구성되는데, 이는 3번째 줄의 1+2=3, 2+1=3을 계산하여 얻어진다.

성질

파스칼의 삼각형은 다양한 수학적 성질을 내포하고 있다.

• 이항계수: 파스칼의 삼각형의 각 숫자는 이항계수 n choose k (또는 C(n, k))를 나타낸다. 여기서 n은 줄 번호 (0부터 시작), k는 줄 안에서의 위치 (0부터 시작)를 의미한다.
• 피보나치 수열: 파스칼의 삼각형의 대각선 방향의 숫자들을 더하면 피보나치 수열이 나타난다.
• 하키 스틱 패턴: 파스칼의 삼각형에서 대각선 방향으로 숫자들을 더하면, 마지막 숫자의 바로 아래 숫자가 된다. 이를 하키 스틱 패턴이라고 부른다.
• 2의 거듭제곱: n번째 줄의 모든 숫자들을 더하면 2ⁿ이 된다.

활용

파스칼의 삼각형은 확률, 조합론, 대수학 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 동전을 여러 번 던졌을 때 특정 횟수만큼 앞면이 나올 확률을 계산하거나, n개의 원소 중에서 k개를 선택하는 경우의 수를 계산하는 데 사용될 수 있다. 또한, 이항정리를 이용하여 (x+y)ⁿ을 전개할 때 각 항의 계수를 쉽게 구할 수 있다.