테일러 급수

테일러 급수 (Taylor series)는 어떤 점에서 무한 번 미분가능한 함수를 그 점에서의 미분계수들을 이용하여 무한급수로 표현하는 방법이다. 다시 말해, 주어진 함수를 특정 점 근처에서 다항함수의 형태로 근사하는 방법을 제공한다. 이러한 근사는 함수의 값을 계산하기 어렵거나, 복잡한 형태의 함수를 다루기 어려울 때 유용하게 사용될 수 있다.

정의

함수 *f(x)*가 x = a를 포함하는 구간에서 무한 번 미분가능하다고 가정할 때, *f(x)*의 x = a에서의 테일러 급수는 다음과 같이 정의된다.

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (f''(a)/2!)(x-a)^2 + (f**(a)/3!)(x-a)^3 + ... + (f^(n)(a)/n!)(x-a)^n + ...

여기서 f'(a), f''(a), f*(a)* 등은 각각 *f(x)*의 1계, 2계, 3계 미분계수를 x = a에서 평가한 값이며, *n!*은 n의 계승을 나타낸다. *f^(n)(a)*는 *f(x)*의 n계 미분계수를 x = a에서 평가한 값이다.

특수한 경우: 맥클로린 급수

테일러 급수에서 a = 0인 특별한 경우를 맥클로린 급수 (Maclaurin series)라고 부른다. 맥클로린 급수는 다음과 같이 표현된다.

f(x) = f(0) + f'(0)x + (f''(0)/2!)x^2 + (f**(0)/3!)x^3 + ... + (f^(n)(0)/n!)x^n + ...

맥클로린 급수는 많은 함수들의 테일러 급수를 간단하게 표현하고 계산하는 데 유용하게 사용된다.

수렴성

테일러 급수가 항상 원래 함수 *f(x)*로 수렴하는 것은 아니다. 테일러 급수가 수렴하는 구간을 수렴 구간이라고 하며, 수렴 구간 내에서만 테일러 급수를 이용하여 함수를 근사할 수 있다. 테일러 급수의 수렴 여부와 수렴 구간은 다양한 수렴 판정법을 사용하여 결정할 수 있다.

응용

테일러 급수는 다양한 분야에서 응용된다.

• 함수 근사: 복잡한 함수를 다루기 쉬운 다항함수로 근사하여 계산을 단순화한다.
• 미분 방정식 해: 미분 방정식을 풀 때, 해를 테일러 급수로 표현하여 근사해를 구한다.
• 물리학: 다양한 물리 현상을 설명하는 데 사용되는 함수의 근사값을 계산한다.
• 공학: 공학 분야에서 복잡한 시스템의 모델링 및 분석에 활용된다.

예시

• e^x의 맥클로린 급수: e^x = 1 + x + (x^2/2!) + (x^3/3!) + ...
• *sin(x)*의 맥클로린 급수: sin(x) = x - (x^3/3!) + (x^5/5!) - (x^7/7!) + ...
• *cos(x)*의 맥클로린 급수: cos(x) = 1 - (x^2/2!) + (x^4/4!) - (x^6/6!) + ...