집합

집합은 수학의 기본적인 개념으로, 잘 정의된 대상들의 모임을 의미한다. 집합에 속하는 대상들을 그 집합의 원소 또는 요소라고 부른다. 집합은 원소들의 목록을 중괄호 {} 안에 나열하여 표기하거나, 원소들의 공통적인 성질을 기술하여 표기할 수 있다. 예를 들어, {1, 2, 3}은 1, 2, 3을 원소로 갖는 집합을 나타내고, {x | x는 짝수이고 0 ≤ x ≤ 10}은 0부터 10까지의 짝수들을 원소로 갖는 집합을 나타낸다. 후자의 표기법은 집합의 조건 제시법(set-builder notation)이라고 한다.

집합은 다음과 같은 기본적인 성질을 갖는다.

• 원소의 유일성: 집합의 원소는 유일해야 하며, 중복된 원소는 하나로 간주한다. 즉, {1, 2, 2, 3}은 {1, 2, 3}과 같다.
• 원소의 순서 무관성: 집합의 원소는 순서에 상관없이 동일한 집합을 나타낸다. 즉, {1, 2, 3}과 {3, 1, 2}는 같은 집합이다.
• 공집합: 원소가 하나도 없는 집합을 공집합이라고 하며, 기호 ∅ 또는 {}로 나타낸다.

집합에 대한 연산으로는 합집합 (∪), 교집합 (∩), 차집합 (－), 여집합 (^c) 등이 있으며, 이들을 통해 새로운 집합을 만들 수 있다. 또한, 부분집합, 진부분집합, 멱집합 등의 개념도 중요한 역할을 한다.

집합론은 수학의 여러 분야에서 기본적인 언어와 도구로 사용되며, 특히 현대 수학의 기초를 이루는 중요한 개념이다. 칸토어의 집합론은 집합론의 발전에 중요한 기여를 했다. 하지만, 칸토어의 집합론은 러셀의 역설 등의 문제점을 내포하고 있으며, 이러한 문제점을 해결하기 위한 다양한 연구가 진행되었다.

집합의 개념은 수학뿐만 아니라 컴퓨터 과학, 논리학 등 다양한 분야에서도 널리 사용된다.