유클리드 정역

유클리드 정역 (Euclidean domain)은 정역의 일종으로, 나눗셈 알고리즘을 일반화한 유클리드 함수를 갖춘 환이다. 유클리드 정역은 가환환론에서 중요한 위치를 차지하며, 정수환, 다항식환 등 많은 중요한 환들이 유클리드 정역에 속한다.

정의

유클리드 정역은 다음 조건을 만족하는 정역 R이다.

1. R에서 0을 제외한 모든 원소에 대해 음이 아닌 정수 값을 부여하는 함수 d : R \ {0} → Z_≥0 (유클리드 함수)가 존재한다.
2. 임의의 a, b ∈ R에 대해, b ≠ 0이면, a = bq + r를 만족하는 q, r ∈ R이 존재한다. 이때, r = 0이거나 d(r) < d(b)를 만족해야 한다. 여기서 q는 몫(quotient), r은 나머지(remainder)라고 부른다.

성질

• 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역(PID)이다. 이는 유클리드 알고리즘을 통해 증명할 수 있다.
• 모든 주 아이디얼 정역은 유일 인수 분해 정역(UFD)이다. 따라서, 모든 유클리드 정역은 유일 인수 분해 정역이다.
• 유클리드 정역에서는 최대공약수를 유클리드 알고리즘을 통해 구할 수 있다.

예시

• 정수환 Z: 유클리드 함수 d(a) = |a| (절댓값)을 사용한다.
• 체 K에 대한 다항식환 K[x]: 유클리드 함수 d(f) = deg(f) (다항식의 차수)를 사용한다.
• 가우스 정수환 Z[i]: 유클리드 함수 d(a + bi) = a² + b² 을 사용한다.

참고

주 아이디얼 정역이지만 유클리드 정역이 아닌 환의 예시도 존재한다. 예를 들어, Z[(1 + √-19)/2]는 주 아이디얼 정역이지만 유클리드 정역은 아니다.

관련 항목

• 정역
• 주 아이디얼 정역
• 유일 인수 분해 정역
• 유클리드 알고리즘