위상의 비교

위상의 비교는 수학의 위상수학 분야에서, 동일한 집합 위에 정의된 두 개 이상의 위상 구조 사이의 관계를 나타내는 개념이다. 여러 위상이 있을 때, 이들이 서로 어떤 포함 관계를 가지는지를 따진다. 이러한 비교는 해당 위상 공간의 성질이나 연속 함수 등 기본적인 개념에 영향을 미치므로 중요하다.

정의

집합 $X$ 위에 두 위상 $\tau_1$과 $\tau_2$가 주어졌다고 하자.

• 위상 $\tau_1$이 위상 $\tau_2$보다 더 곱다 (finer) 또는 더 강하다 (stronger)는 것은, $\tau_2$의 모든 열린집합이 $\tau_1$에서도 열린집합이라는 뜻이다. 즉, 위상족으로서의 포함 관계가 $\tau_2 \subseteq \tau_1$을 만족한다.
• 이 경우, 위상 $\tau_2$는 위상 $\tau_1$보다 더 거칠다 (coarser) 또는 더 약하다 (weaker)고 말한다.
• 두 위상이 같으면 ($\tau_1 = \tau_2$), 두 위상은 서로에게 더 곱고 더 거친 관계에 있다.
• 만약 $\tau_1 \not\subseteq \tau_2$ 이고 $\tau_2 \not\subseteq \tau_1$ 이면, 두 위상은 비교 불가능하다.

두 위상의 포함 관계 $\tau_2 \subseteq \tau_1$은 $\tau_1$이 $\tau_2$보다 '더 많은' 열린집합을 가진다는 것을 의미한다.

성질 및 의미

위상의 비교 관계는 해당 위상 공간의 여러 성질과 함수에 영향을 미친다.

• 연속 함수: 함수 $f: X \to Y$가 주어졌을 때, $X$에 정의된 위상을 더 곱게 하거나 $Y$에 정의된 위상을 더 거칠게 하면 함수의 연속성이 유지되거나 새로 얻어질 수 있다.
  • 함수 $f: (X, \tau_2) \to Y$가 연속이고 $\tau_1$이 $\tau_2$보다 곱으면 ($\tau_2 \subseteq \tau_1$), $f: (X, \tau_1) \to Y$는 연속이다. (더 많은 열린집합에 대해 원상이 열린집합이어야 하므로 출발 공간의 위상이 곱으면 연속성이 더 쉽게 깨진다. 하지만 여기서는 $\tau_2$의 열린집합의 원상이 $\tau_2$에서 열린집합이고, $\tau_2$의 열린집합은 $\tau_1$에서도 열린집합이므로 연속성이 유지된다.) 정정: 설명이 혼란스러울 수 있다. 올바른 설명은 다음과 같다: $f: (X, \tau_1) \to Y$가 연속이려면, $Y$의 모든 열린집합 $V$에 대해 $f^{-1}(V)$가 $\tau_1$에서 열린집합이어야 한다. 만약 $f: (X, \tau_2) \to Y$가 연속이고 $\tau_2 \subseteq \tau_1$이라면, $f^{-1}(V)$는 $\tau_2$에서 열린집합이고, 따라서 $\tau_1$에서도 열린집합이 된다. 그러므로 $f: (X, \tau_1) \to Y$는 연속이다. 즉, 정의역의 위상이 곱으면 연속이 되기 어렵다.
  • 함수 $f: Y \to (X, \tau_1)$이 연속이고 $\tau_2$가 $\tau_1$보다 거칠면 ($\tau_2 \subseteq \tau_1$), $f: Y \to (X, \tau_2)$는 연속이다. (받는 공간의 위상이 거칠면 연속이 되기 더 쉽다.)
• 수렴: 위상이 더 고울수록 수열이나 필터(nets)가 수렴하기 어렵다. 수열 $(x_n)$이 위상 $(X, \tau_1)$에서 점 $x$로 수렴하면, $\tau_2$가 $\tau_1$보다 거칠 때 ($\tau_2 \subseteq \tau_1$) 수열 $(x_n)$은 위상 $(X, \tau_2)$에서도 점 $x$로 수렴한다. 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
• 위상적 성질:
  • 콤팩트성: $(X, \tau_1)$이 콤팩트 공간이고 $\tau_2$가 $\tau_1$보다 거칠면 ($\tau_2 \subseteq \tau_1$), $(X, \tau_2)$도 콤팩트 공간이다. (더 적은 열린집합으로 열린 덮개를 구성하므로 유한 부분 덮개를 찾기 더 쉽다.)
  • 하우스도르프 성질: $(X, \tau_2)$가 하우스도르프 공간이고 $\tau_1$이 $\tau_2$보다 곱으면 ($\tau_2 \subseteq \tau_1$), $(X, \tau_1)$도 하우스도르프 공간이다. (더 많은 열린집합으로 서로 다른 두 점을 분리하기 더 쉽다.)
  • 연결성: $(X, \tau_1)$이 연결 공간이고 $\tau_2$가 $\tau_1$보다 거칠면 ($\tau_2 \subseteq \tau_1$), $(X, \tau_2)$도 연결 공간이다. (거친 위상에서는 공간을 분리하는 두 공집합이 아닌 열린집합을 찾기 어렵다.) 반대로 $(X, \tau_2)$가 연결 공간이라고 해서 $\tau_1$이 $\tau_2$보다 곱을 때 $(X, \tau_1)$도 연결 공간인 것은 아니다. (가는 위상은 공간을 분리할 수 있다.)

예시

임의의 집합 $X$ 위에는 다음과 같은 두 극단적인 위상이 존재하며, 이들은 위상의 비교에서 가장 거칠거나 가장 고운 위상으로 사용된다.

• 비이산 위상 (trivial topology): $\tau_0 = {\emptyset, X}$로 정의되는 위상. 이는 $X$ 위에 가능한 가장 거친 위상이다. 임의의 위상 $\tau$에 대해 $\tau_0 \subseteq \tau$가 성립한다.
• 이산 위상 (discrete topology): $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$를 위상으로 하는 경우. 이는 $X$ 위에 가능한 가장 고운 위상이다. 임의의 위상 $\tau$에 대해 $\tau \subseteq \mathcal{P}(X)$가 성립한다.

실수 집합 $\mathbb{R}$ 위에는 여러 위상이 가능하다. 예를 들어, 표준 위상(유클리드 위상)과 하극한 위상(lower limit topology)을 비교할 수 있다. 하극한 위상은 구간 $[a, b)$ 형태의 집합들을 기저로 가지는데, 이 집합들은 표준 위상에서는 열린집합이 아니다. 반면, 표준 위상의 기저가 되는 열린 구간 $(a, b)$는 하극한 위상에서도 열린집합들의 합집합으로 표현 가능하다. 따라서 하극한 위상은 표준 위상보다 더 곱다.

부분 순서 관계

주어진 집합 $X$ 위에 정의 가능한 모든 위상들의 모임을 $\mathcal{T}(X)$라고 할 때, '더 곱다'는 관계는 $\mathcal{T}(X)$ 위의 부분 순서(partial order)를 이룬다. 이 관계는 다음을 만족한다.

• 반사성: 임의의 위상 $\tau$에 대해 $\tau$는 $\tau$보다 더 곱다 ($\tau \subseteq \tau$).
• 반대칭성: $\tau_1$이 $\tau_2$보다 곱고 $\tau_2$가 $\tau_1$보다 곱으면 ($\tau_2 \subseteq \tau_1$이고 $\tau_1 \subseteq \tau_2$), $\tau_1 = \tau_2$이다.
• 추이성: $\tau_1$이 $\tau_2$보다 곱고 $\tau_2$가 $\tau_3$보다 곱으면 ($\tau_2 \subseteq \tau_1$이고 $\tau_3 \subseteq \tau_2$), $\tau_1$은 $\tau_3$보다 곱다 ($\tau_3 \subseteq \tau_1$).

따라서 $(\mathcal{T}(X), \subseteq)$는 부분 순서 집합을 형성한다.