비탈리 집합

비탈리 집합 (Vitali set)은 실수의 구간 [0, 1]에서 선택 공리를 사용하여 구성할 수 있는 한 가지 예시적인 집합으로, 르베그 측도를 갖지 않는 집합의 존재성을 보여주는 중요한 예이다.

정의

실수 집합 ℝ 위에서 정의된 덧셈에 대해, 두 실수 x와 y의 차이 (x - y)가 유리수이면 x와 y는 동치 관계에 있다고 정의한다. 즉, x ~ y ⇔ (x - y) ∈ ℚ 이다. 이 동치 관계에 따라 구간 [0, 1]을 서로소인 동치류들의 합집합으로 분할할 수 있다. 선택 공리를 사용하여, 각 동치류에서 하나의 원소를 선택하여 구성한 집합을 비탈리 집합이라고 한다.

성질

• 비탈리 집합은 르베그 가측 집합이 아니다. 만약 비탈리 집합 V가 르베그 가측 집합이라고 가정하면, V의 유리수만큼 평행이동시킨 집합들의 합집합은 [0, 1] 구간을 포함하는 집합이 되며, 이 합집합의 측도는 V의 측도의 유리수 개수만큼의 합이 된다. 이 값이 유한하면 V의 측도는 0이 되어야 하고, 무한하면 합집합의 측도도 무한대가 되어야 하므로 모순이 발생한다. 따라서 비탈리 집합은 르베그 가측 집합이 될 수 없다.
• 비탈리 집합의 존재는 선택 공리에 의존적이다. 선택 공리를 부정하는 일부 집합론 모델에서는 비탈리 집합이 존재하지 않을 수도 있다.

의미

비탈리 집합은 르베그 측도 이론에서 르베그 가측 집합이 아닌 집합의 존재를 증명함으로써 르베그 측도의 완전성을 보여준다. 또한, 선택 공리의 사용에 대한 논쟁을 불러일으키는 사례 중 하나이다.