부분정규 부분군

부분정규 부분군 (Partially Normal Subgroup)은 군론에서 사용되는 개념으로, 주어진 군의 부분군이 특정 조건 하에서 정규 부분군과 유사한 성질을 갖는다는 것을 나타냅니다.

정확히 말하면, 군 G의 부분군 H가 G의 부분정규 부분군이라는 것은, H에서 시작하여 유한 번 정규화를 반복하여 얻어지는 부분군들의 열:

H = H₀ ◁ H₁ ◁ ... ◁ H_n = K

이 존재하고, 최종적으로 얻어진 부분군 K가 G의 정규 부분군이 되는 경우를 의미합니다. 여기서 '◁' 기호는 '정규 부분군이다'라는 관계를 나타냅니다.

즉, 부분군 H가 자신의 정규화 부분군 N_G(H) 안에서 정규 부분군이고, N_G(H)의 정규화 부분군 안에서 다시 정규 부분군이고... 이러한 과정을 거쳐 최종적으로 얻어진 부분군이 원래 군 G 안에서 정규 부분군이 된다면, H는 G의 부분정규 부분군이라고 할 수 있습니다.

모든 정규 부분군은 자명하게 부분정규 부분군이 되지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않습니다. 즉, 부분정규 부분군이라고 해서 반드시 정규 부분군일 필요는 없습니다. 부분정규 부분군의 개념은 군의 구조를 분석하고 이해하는 데 유용한 도구로 활용됩니다. 특히, 가해군 (solvable group) 과 같은 군의 분류 및 연구에 중요한 역할을 합니다.