방데르몽드 행렬

방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)은 특정한 형태를 갖는 행렬의 일종으로, 행렬의 각 행이 특정 값의 거듭제곱으로 이루어져 있다는 특징을 가집니다. 이러한 행렬은 다항식 보간법, 부호화 이론, 제어 이론 등 다양한 수학 및 공학 분야에서 활용됩니다.

정의

n × n 방데르몽드 행렬 V는 다음과 같이 정의됩니다.

V = [[1, x₁, x₁², ..., x₁^(n-1)],
     [1, x₂, x₂², ..., x₂^(n-1)],
     [1, x₃, x₃², ..., x₃^(n-1)],
     ...,
     [1, xₙ, xₙ², ..., xₙ^(n-1)]]

여기서 x₁, x₂, ..., xₙ은 스칼라 값이며, 행렬의 각 행은 해당 스칼라 값의 거듭제곱으로 구성됩니다.

성질

• 행렬식: 방데르몽드 행렬의 행렬식은 다음과 같이 계산됩니다.

  det(V) = ∏₁≤i<j≤n (xⱼ - xᵢ)

  만약 x₁, x₂, ..., xₙ이 모두 서로 다른 값이라면, 행렬식은 0이 아니므로 방데르몽드 행렬은 가역행렬이 됩니다.

• 응용: 방데르몽드 행렬은 다항식 보간법에서 주로 사용됩니다. n개의 점 (x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (xₙ, yₙ)을 지나는 (n-1)차 다항식을 찾을 때, 방데르몽드 행렬을 사용하여 계수를 구할 수 있습니다.

• 일반화: 방데르몽드 행렬의 개념은 다변수 다항식이나 다른 함수로 일반화될 수 있습니다.