메르센 소수

메르센 소수(Mersenne prime)는 2의 거듭제곱에서 1을 뺀 수 (즉, 2^p - 1 형태) 중에서 소수인 수를 말한다. 여기서 p 역시 소수여야 한다. 이러한 형태의 수를 메르센 수라고 부르며, 메르센 수 중에서 소수인 것만을 메르센 소수라고 특정하여 부른다.

역사

메르센 소수는 17세기 프랑스의 수도사이자 수학자인 마랭 메르센의 이름을 따서 명명되었다. 메르센은 p가 특정 값일 때 2^p - 1이 소수인지 합성수인지에 대한 추측을 발표했지만, 그의 추측은 일부 오류가 있었다.

특징

• 메르센 소수의 지수 p는 항상 소수이다. (만약 p가 합성수라면 2^p - 1도 합성수이다.) 하지만, p가 소수라고 해서 2^p - 1이 반드시 소수가 되는 것은 아니다. 예를 들어, p = 11일 때 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89 이므로 소수가 아니다.
• 메르센 소수는 짝수 완전수와 밀접한 관련이 있다. 유클리드-오일러 정리에 따르면, q가 메르센 소수라면 2^p-1(2^p - 1) 형태의 수는 짝수 완전수이다. 여기서 p는 q가 2^p - 1 로 표현될 때의 p이다. 반대로 모든 짝수 완전수는 이러한 형태로 표현될 수 있다.
• 메르센 소수는 큰 소수를 찾는 데 사용되어 왔다. 큰 메르센 소수를 발견하는 것은 컴퓨터 성능을 시험하는 벤치마크로도 활용된다.
• 메르센 소수의 탐색은 GIMPS(Great Internet Mersenne Prime Search) 프로젝트와 같이 분산 컴퓨팅 프로젝트를 통해 진행되는 경우가 많다.

알려진 메르센 소수

현재까지 알려진 메르센 소수는 51개이며, 가장 큰 메르센 소수는 2^82,589,933 - 1 이다. 새로운 메르센 소수를 찾는 것은 수학 및 컴퓨터 과학 분야에서 계속적인 관심사이다.