등비

수학에서 등비(等比, geometric progression)는 연속하는 두 항의 비가 일정한 수열을 말한다. 이 일정한 비를 공비(common ratio)라고 한다. 예를 들어, 2, 6, 18, 54, ... 는 공비가 3인 등비수열이다.

일반항

첫째항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 일반항은 다음과 같이 표현된다.

a_n = a * r^n-1

여기서 *a_n*은 n번째 항을 나타낸다.

등비수열의 합

첫째항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 처음 n개의 항의 합 *S_n*은 다음과 같이 계산된다.

r ≠ 1 일 때:

S_n = a * (1 - rⁿ) / (1 - r)

r = 1 일 때:

S_n = na

등비중항

세 수 a, b, c가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, b를 a와 c의 등비중항이라고 한다. 등비중항은 다음 관계를 만족한다.

b² = ac

활용

등비수열은 복리 계산, 인구 증가, 방사성 물질의 붕괴 등 다양한 분야에서 활용된다. 또한, 프랙탈 구조와 같은 기하학적 패턴을 설명하는 데에도 사용된다.