겔판드 표현

겔판드 표현은 바나흐 대수 또는 C*-대수의 표현론에서 중요한 개념으로, 대수를 작용소 대수로 표현하는 방법을 말합니다. 특히, 교환 바나흐 대수 또는 C*-대수의 경우, 겔판드 표현은 대수를 연속 함수 공간으로 표현하는 강력한 도구입니다.

겔판드 표현은 다음과 같은 단계를 거쳐 정의됩니다. 먼저, 주어진 바나흐 대수 A의 모든 최대 정규 아이디얼들의 집합을 고려합니다. 이 집합을 스펙트럼 (spectrum)이라고 부르며, Δ(A)로 표기합니다. 스펙트럼 Δ(A)에는 적절한 위상을 주어 컴팩트 하우스도르프 공간으로 만들 수 있습니다.

각 원소 a ∈ A에 대해, 겔판드 변환 (Gelfand transform) ˆa : Δ(A) → C를 다음과 같이 정의합니다: ˆa(m) = a + m, 여기서 m은 A의 최대 정규 아이디얼이고, a + m은 몫 대수 A/m에서의 a의 이미지입니다. 이 몫 대수는 복소수체 C와 동형입니다. 따라서 ˆa는 Δ(A)에서 복소수 값으로 가는 함수가 됩니다.

겔판드 표현은 A에서 연속 함수 공간 C(Δ(A))로 가는 사상으로, a ↦ ˆa 로 정의됩니다. 이 사상은 대수적 준동형사상이며, 여러 가지 중요한 성질을 가집니다. 특히, A가 교환 C*-대수일 경우, 겔판드 표현은 A와 C(Δ(A)) 사이의 -동형사상이 됩니다. 이는 교환 C-대수를 연속 함수 공간으로 나타낼 수 있다는 강력한 결과를 의미하며, C*-대수의 분류 및 연구에 핵심적인 역할을 합니다.

겔판드 표현은 함수 해석학, 작용소 대수, 양자역학 등의 분야에서 널리 활용됩니다.