거리화 가능 공간

거리화 가능 공간 (Metrizable space)은 위상 공간의 한 종류로, 그 위상이 어떤 거리 공간의 위상과 동일한 공간을 의미한다. 즉, 주어진 위상 공간 X에 대해, X의 점들 사이의 거리를 정의하는 거리 함수 d가 존재하여, d에 의해 유도되는 위상이 X의 원래 위상과 일치한다면, X는 거리화 가능 공간이라고 한다.

좀 더 구체적으로, 위상 공간 (X, T)가 거리화 가능 공간이라는 것은, X 위의 어떤 거리 함수 d: X × X → ℝ (실수)가 존재하여, d에 의해 유도되는 위상 T(d)가 T와 같다는 것을 의미한다. 여기서 T(d)는 d에 의해 유도되는 X의 부분 집합들의 모임으로, X의 각 점 x에 대해, 임의의 양수 ε > 0에 대해 열린 공 B(x, ε) = {y ∈ X : d(x, y) < ε}들의 합집합으로 표현되는 집합들을 포함하는 X의 위상이다.

거리화 가능 공간은 위상 공간론에서 중요한 역할을 하며, 다양한 성질들이 연구되어 왔다. 예를 들어, 거리화 가능 공간은 항상 하우스도르프 공간이며, 정규 공간이다. 또한, 거리화 가능 공간에 대한 다양한 거리화 정리들이 존재하며, 이 정리들은 주어진 위상 공간이 언제 거리화 가능한지를 판별하는 데 유용하게 사용된다. 대표적인 거리화 정리로는 우리손의 거리화 정리와 스톤의 거리화 정리 등이 있다. 우리손의 거리화 정리는 제2 가산 정규 공간은 거리화 가능하다는 것을, 스톤의 거리화 정리는 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 거리화 가능하다는 것을 각각 보여준다.

거리화 가능성은 위상 공간의 성질을 연구하고 분류하는 데 중요한 도구이며, 함수 해석학, 미분 기하학 등 다양한 분야에서 응용된다.