힐베르트 호텔

힐베르트 호텔은 무한한 수의 방을 가진 가상의 호텔로, 수학자 다비트 힐베르트가 무한의 역설적인 성질을 설명하기 위해 고안한 사고 실험이다. 이 호텔은 모든 방이 투숙객으로 가득 차 있을 때에도 새로운 투숙객을 수용할 수 있다는 점을 보여준다.

사고 실험:

• 모든 방이 꽉 찬 경우: 힐베르트 호텔의 모든 방에 투숙객이 이미 머무르고 있다고 가정한다. 새로운 투숙객이 호텔에 도착했을 때, 호텔 직원은 1번 방에 있던 투숙객을 2번 방으로, 2번 방에 있던 투숙객을 3번 방으로, 이런 식으로 모든 투숙객을 자신의 방 번호보다 하나 더 큰 방으로 이동시킨다. 이렇게 하면 1번 방이 비게 되어 새로운 투숙객을 수용할 수 있다.
• 무한한 수의 새로운 투숙객이 도착한 경우: 모든 방이 꽉 찬 상황에서 무한한 수의 새로운 투숙객이 도착했다면, 호텔 직원은 1번 방에 있던 투숙객을 2번 방으로, 2번 방에 있던 투숙객을 4번 방으로, 3번 방에 있던 투숙객을 6번 방으로, 즉 모든 투숙객을 자신의 방 번호의 두 배에 해당하는 방으로 이동시킨다. 이렇게 하면 모든 홀수 번호의 방이 비게 되어 무한한 수의 새로운 투숙객을 수용할 수 있다.

의미:

힐베르트 호텔은 무한 집합의 개념을 직관적으로 이해하도록 돕는 데 사용된다. 유한 집합과는 달리, 무한 집합은 자신의 진부분집합과 일대일 대응을 이룰 수 있다. 힐베르트 호텔은 이러한 무한의 특성을 시각적으로 보여주는 대표적인 예시이다.

관련 개념:

• 무한 집합
• 기수
• 칸토어의 대각선 논법
• 집합론