환 (수학)

환(環, ring)은 수학에서 두 가지 이항 연산, 덧셈(+)과 곱셈(·),을 갖춘 집합으로, 덧셈에 대해서는 아벨 군을 이루고, 곱셈에 대해서는 결합법칙이 성립하며, 덧셈과 곱셈 사이에는 분배법칙이 성립하는 대수적 구조이다. 더 정확히는, 환은 다음과 같은 조건을 만족하는 집합 R과 두 연산 +, ·에 대한 삼중합 (R, +, ·) 을 말한다.

• 덧셈에 대한 아벨 군:

  • 덧셈에 대한 결합법칙: ∀a, b, c ∈ R, (a + b) + c = a + (b + c)
  • 덧셈에 대한 교환법칙: ∀a, b ∈ R, a + b = b + a
  • 덧셈에 대한 항등원 존재: ∃0 ∈ R, ∀a ∈ R, a + 0 = 0 + a = a (0은 덧셈에 대한 항등원)
  • 덧셈에 대한 역원 존재: ∀a ∈ R, ∃-a ∈ R, a + (-a) = (-a) + a = 0 (-a는 a의 덧셈에 대한 역원)

• 곱셈에 대한 결합법칙: ∀a, b, c ∈ R, (a · b) · c = a · (b · c)

• 분배법칙: ∀a, b, c ∈ R,

  • a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
  • (a + b) · c = (a · c) + (b · c)

특수한 환:

환에는 여러 가지 특수한 종류가 있다. 예를 들어, 곱셈에 대한 항등원(1)이 존재하는 환을 단위원을 갖는 환 (ring with unity 또는 unital ring)이라고 한다. 곱셈이 교환법칙을 만족하는 환을 교환환 (commutative ring)이라고 한다. 모든 원소가 0이 아닌 역원을 가지는 교환환을 체 (field)라고 한다. 이 외에도 정역, 나눗셈환 등 다양한 종류의 환이 존재한다. 각각의 특수한 환은 추가적인 조건을 만족한다.

예시:

정수 집합 ℤ, 실수 집합 ℝ, 복소수 집합 ℂ는 모두 단위원을 갖는 교환환이며, ℝ과 ℂ는 체이다. 정방행렬 전체의 집합은 단위원을 갖는 환이지만 교환환은 아니다. 다항식의 집합도 환을 이룬다.

환의 중요성:

환은 추상대수학에서 매우 중요한 대수적 구조이며, 정수론, 대수기하학, 그리고 현대 수학의 여러 분야에서 널리 사용된다. 환의 성질을 연구함으로써, 수학적 대상들의 구조와 성질을 이해하는 데 도움을 준다.