현수선

현수선 (懸垂線, catenary)은 양 끝이 고정된 줄이나 사슬이 중력의 영향으로 늘어져서 이루는 곡선이다. 현수선은 포물선과 유사한 형태를 보이지만, 수학적으로는 전혀 다른 곡선이다. 포물선은 2차 함수로 표현되는 반면, 현수선은 쌍곡코사인 함수(cosh x)로 표현된다.

어원

현수선이라는 이름은 '매달려 늘어진 선'이라는 뜻의 한자어에서 유래되었다. 영어 명칭인 'catenary'는 라틴어 'catena'(사슬)에서 파생되었다.

수학적 정의

현수선은 다음과 같은 방정식으로 표현된다:

y = a * cosh(x/a)

여기서:

• y는 수직 좌표
• x는 수평 좌표
• a는 상수 (현수선의 모양을 결정하는 값)
• cosh(x/a)는 쌍곡코사인 함수 (cosh(x/a) = (e^(x/a) + e^(-x/a)) / 2)

성질

• 최소 에너지 상태: 현수선은 주어진 길이의 줄이 양 끝점에서 매달렸을 때, 잠재 에너지를 최소화하는 형태이다.
• 회전면의 최소 표면적: 현수선을 x축을 중심으로 회전시켜 얻는 곡면은 주어진 경계를 갖는 모든 회전면 중에서 최소 표면적을 갖는다. 이러한 곡면을 현수면(catenoid)이라고 부른다.
• 역현수선: 현수선을 뒤집은 형태는 아치 구조의 이상적인 형태이다. 아치에 가해지는 하중이 전체적으로 균등하게 분산되어 구조적 안정성을 높인다.

활용

현수선은 다양한 분야에서 활용된다.

• 건축: 아치 구조, 케이블 교량 등에서 구조적 안정성을 위해 현수선 형태를 활용한다. 가우디의 사그라다 파밀리아 성당의 아치 구조는 현수선의 원리를 이용한 대표적인 예시이다.
• 전기 공학: 전력선이 늘어진 형태는 현수선과 유사하며, 이를 통해 전선의 처짐과 장력을 계산한다.
• 기계 공학: 벨트나 체인의 늘어짐을 계산하는 데 사용된다.
• 광학: 특정 렌즈 디자인에 현수선 형태가 활용될 수 있다.

관련 용어

• 포물선 (parabola)
• 쌍곡선 (hyperbola)
• 쌍곡코사인 함수 (hyperbolic cosine function, cosh)
• 현수면 (catenoid)