필요충분조건

필요충분조건 (必要充分條件, necessary and sufficient condition)은 논리, 수학, 철학 등에서 어떤 명제 P가 성립하기 위한 조건 Q가 필요조건이면서 동시에 충분조건일 때, Q를 P의 필요충분조건이라고 한다. 즉, P가 참일 때 Q도 반드시 참이고, Q가 참일 때 P도 반드시 참인 관계를 의미한다.

정의

명제 P와 Q에 대하여:

• Q가 P의 필요조건이라는 것은 P가 참이기 위해서는 Q가 반드시 참이어야 함을 의미한다. (P → Q)
• Q가 P의 충분조건이라는 것은 Q가 참이면 P도 반드시 참임을 의미한다. (Q → P)

따라서 Q가 P의 필요충분조건이라는 것은 다음 두 명제가 모두 참임을 의미한다:

• P → Q (P이면 Q이다)
• Q → P (Q이면 P이다)

이것은 논리적으로 P ↔ Q (P와 Q는 동치이다)와 같다.

기호

P가 Q의 필요충분조건일 때, 다음과 같은 기호를 사용할 수 있다:

• P ≡ Q
• P ⇔ Q
• P iff Q (iff는 "if and only if"의 약자)

예시

• "삼각형 ABC가 정삼각형이다"는 "삼각형 ABC의 세 변의 길이가 모두 같다"의 필요충분조건이다. 삼각형이 정삼각형이면 세 변의 길이가 모두 같고, 세 변의 길이가 모두 같으면 정삼각형이다.
• "x = 2"는 "x² - 4 = 0"의 필요충분조건이 아니다. x² - 4 = 0을 만족하는 x는 2 또는 -2이므로, x² - 4 = 0은 x = 2의 필요조건이지만 충분조건은 아니다. 하지만 x가 양수라는 조건이 추가되면 "x = 2"는 "x² - 4 = 0이고 x > 0"의 필요충분조건이 된다.

주의사항

필요충분조건을 혼동하기 쉬운 개념으로 필요조건과 충분조건이 있다. Q가 P의 필요조건이면 P는 Q의 충분조건이 된다. 필요충분조건은 이 두 가지 조건을 모두 만족하는 경우를 의미한다.

관련 개념

• 필요조건
• 충분조건
• 동치
• 논리
• 수학
• 철학