폰 노이만 대수
폰 노이만 대수 (영어: von Neumann algebra)는 힐베르트 공간 위의 유계 연산자들로 이루어진 특정한 종류의 *-대수이다. 폰 노이만 대수는 작용소 대수의 중요한 한 종류이며, 양자역학의 수학적 기초, 표현론, 비가환 기하학 등 다양한 분야에서 응용된다.
정의
힐베르트 공간 H 위의 모든 유계 연산자들의 집합 B(H)를 생각하자. B(H)는 점별 덧셈, 스칼라 곱, 연산자 합성, 그리고 수반 연산을 통해 *-대수를 이룬다. B(H)의 부분 *-대수 M이 다음 조건들을 만족시키면, M을 폰 노이만 대수라고 한다.
- M은 단위원을 포함한다. (즉, 항등 연산자 I가 M에 속한다.)
- M은 약한 작용소 위상(weak operator topology)에 대해 닫혀있다.
약한 작용소 위상은 다음과 같이 정의된다. B(H)의 연산자들의 열 (Tα)가 어떤 연산자 T로 약하게 수렴한다는 것은, 모든 벡터 x, y ∈ H에 대해 <Tαx, y>가 <Tx, y>로 수렴한다는 것을 의미한다.
폰 노이만 대수의 정의에는 여러 동치인 조건들이 존재한다. 예를 들어, M이 강한 작용소 위상(strong operator topology)에 대해 닫혀있다는 조건, 혹은 M이 자신의 이중 교환자(double commutant)와 같다는 조건 (폰 노이만 교환자 정리) 등이 폰 노이만 대수의 정의로 사용될 수 있다. 강한 작용소 위상은 약한 작용소 위상보다 더 강한 위상이며, 연산자들의 열 (Tα)가 어떤 연산자 T로 강하게 수렴한다는 것은, 모든 벡터 x ∈ H에 대해 Tαx가 Tx로 수렴한다는 것을 의미한다.
예시
- B(H) 자체는 폰 노이만 대수이다.
- H의 부분공간 P에 대한 사영 연산자 PP를 생각하자. PP가 가환인 폰 노이만 대수를 생성한다.
- 유한군의 군 대수는 적절한 힐베르트 공간 위에서 폰 노이만 대수를 이룬다.
성질
- 폰 노이만 대수는 C*-대수이다. (하지만 모든 C*-대수가 폰 노이만 대수인 것은 아니다.)
- 폰 노이만 대수는 다양한 종류로 분류될 수 있다. 대표적으로, type I, type II, type III 폰 노이만 대수로 나뉜다.
- 폰 노이만 대수는 중심(center)이라는 중요한 개념을 가진다. 중심은 대수 전체와 가환하는 원소들의 집합이며, 폰 노이만 대수의 분류에 중요한 역할을 한다.
응용
폰 노이만 대수는 양자역학, 표현론, 비가환 기하학 등 다양한 분야에서 응용된다. 양자역학에서는 관측 가능한 물리량들을 폰 노이만 대수의 원소로 나타내어 양자 시스템을 기술하는 데 사용된다. 표현론에서는 군의 표현을 연구하는 데 중요한 도구로 사용되며, 비가환 기하학에서는 비가환 공간을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다.