파라콤팩트 공간

파라콤팩트 공간 (Paracompact space)은 위상수학에서 다루는 위상 공간의 한 종류로, 콤팩트 공간의 일반화된 개념 중 하나이다. 파라콤팩트 공간은 콤팩트 공간의 여러 유용한 성질들을 보존하면서 더 넓은 범위의 공간을 포함하기 때문에, 해석학, 미분기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

정의

위상 공간 X가 다음 조건을 만족하면 파라콤팩트 공간이라고 한다.

• X는 하우스도르프 공간이다.
• X의 모든 열린 덮개는 국소 유한인 열린 세분(refinement)을 가진다. 여기서 국소 유한(locally finite)이란 X의 각 점에 대해, 그 점을 포함하는 열린 집합이 존재하여 이 열린 집합은 유한 개의 덮개의 원소와만 교집합을 가진다는 의미이다. 세분이란 덮개의 각 원소가 원래 덮개의 어떤 원소의 부분집합이 되는 새로운 덮개를 의미한다.

성질

• 모든 콤팩트 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다.
• 모든 거리화 가능 공간은 파라콤팩트 공간이다.
• 파라콤팩트 공간의 닫힌 부분집합은 파라콤팩트 공간이다.
• 파라콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱은 파라콤팩트 공간이다.
• 파라콤팩트 공간은 정규 공간이다. (정규 공간은 서로 소인 두 닫힌 집합을 분리하는 열린 집합이 존재하는 공간을 의미한다.)
• 파라콤팩트 공간은 완비 정규 공간이다.

응용

파라콤팩트 공간은 미분기하학에서 다양체(manifold)의 존재성을 증명하거나, 해석학에서 분할된 단위(partition of unity)를 구성하는 데 사용되는 등 다양한 응용이 있다. 분할된 단위는 함수를 구성하거나 함수의 성질을 연구하는 데 유용한 도구이며, 파라콤팩트 공간에서는 항상 분할된 단위의 존재성이 보장된다.

관련 개념

• 콤팩트 공간
• 하우스도르프 공간
• 국소 유한
• 세분
• 분할된 단위
• 정규 공간
• 거리화 가능 공간