투에 보조정리

투에 보조정리 (Thue's lemma)는 정수론에서, 특히 디오판테스 근사 분야에서 중요한 역할을 하는 정리이다. 주어진 정수 a와 m (여기서 m > 1)에 대해, a와 m이 서로소일 필요는 없으며, 다음 조건을 만족하는 정수 x와 y가 존재한다는 것을 보장한다:

• 0 < |x| ≤ √m
• 0 < |y| ≤ √m
• ax ≡ y (mod m)

다시 말해, 투에 보조정리는 주어진 법 m에 대해, ax와 상당히 작은 y가 합동이 되도록 하는 작은 정수 x를 찾을 수 있다는 것을 의미한다. 여기서 '작다'는 의미는 그 절대값이 √m 이하라는 뜻이다.

증명 아이디어:

투에 보조정리는 비둘기집 원리(Pigeonhole principle)를 사용하여 증명된다. √m 보다 작거나 같은 양의 정수 x와 y를 사용하여 가능한 모든 순서쌍 (x, y)를 고려한다. 이러한 순서쌍의 개수는 대략 m개 정도가 된다. 이 순서쌍들을 ax - y (mod m)의 나머지 값에 따라 분류하면, 비둘기집 원리에 의해 같은 나머지를 갖는 두 개의 순서쌍이 존재해야 한다. 이 두 순서쌍의 차이를 이용하여 원하는 x와 y를 구성할 수 있다.

응용:

투에 보조정리는 디오판테스 방정식의 해의 존재성을 증명하거나, 대수적 수의 유리수 근사를 구하는 데 사용될 수 있다. 특히, 제곱근을 유리수로 근사하는 문제에 유용하게 활용된다.

역사:

투에 보조정리는 1909년 악셀 투에(Axel Thue)에 의해 처음 제시되었으며, 그는 이를 이용하여 대수적 수의 유리수 근사에 대한 중요한 결과를 얻었다.