최소 공배수

최소공배수 (Least Common Multiple, LCM)는 두 개 이상의 자연수의 공통된 배수 중에서 가장 작은 수를 의미한다. 즉, 주어진 수들을 모두 나누어 떨어지게 하는 가장 작은 양의 정수이다.

정의

두 개 이상의 자연수 a, b, c, ... 에 대해, 이 수들의 공배수란 각 수를 모두 약수로 가지는 수를 의미한다. 이 공배수들 중에서 가장 작은 수를 최소공배수라고 한다.

구하는 방법

최소공배수를 구하는 방법은 여러 가지가 있다.

• 소인수분해를 이용하는 방법: 각 수를 소인수분해한 후, 각 소인수의 가장 높은 지수를 곱하여 구한다. 예를 들어, 12와 18의 최소공배수를 구하려면, 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² 이므로, 최소공배수는 2² × 3² = 36 이 된다.
• 공약수를 이용하는 방법: 주어진 수들을 공약수로 나누어 더 이상 서로소가 될 때까지 나눈 후, 나눈 수들과 마지막 몫들을 모두 곱하여 구한다.
• 최대공약수(GCD)를 이용하는 방법: 두 수 a와 b의 최소공배수(LCM)는 a × b / GCD(a, b) 로 계산할 수 있다.

활용

최소공배수는 분수의 통분, 시간 간격 계산, 주기적인 현상의 분석 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 분수의 덧셈이나 뺄셈을 할 때 분모를 통분해야 하는데, 이때 분모들의 최소공배수를 이용하면 계산을 간편하게 할 수 있다.

예시

• 4와 6의 최소공배수는 12이다.
• 8, 12, 15의 최소공배수는 120이다.

참고

두 수의 곱은 그 두 수의 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같다.