조화 진동자

조화 진동자는 평형점에서 벗어난 변위에 비례하는 복원력을 받는 계를 말한다. 이는 고전역학 및 양자역학에서 이상적인 모델로, 실제 물리계의 진동 현상을 근사적으로 설명하는 데 널리 사용된다.

고전적인 조화 진동자

고전적인 조화 진동자는 후크의 법칙을 따르는 탄성력에 의해 평형점으로 되돌아가는 질량으로 구성된다. 운동 방정식은 다음과 같이 표현된다.

F = -kx

여기서 F는 복원력, k는 스프링 상수 (계의 강성을 나타내는 값), x는 평형점으로부터의 변위를 나타낸다. 이 운동 방정식을 풀면, 질량은 다음과 같은 각진동수 ω로 단순 조화 운동을 하게 된다.

ω = √(k/m)

여기서 m은 질량이다. 따라서, 질량의 위치는 시간 t에 따라 다음과 같이 표현될 수 있다.

x(t) = A cos(ωt + φ)

여기서 A는 진폭, φ는 초기 위상을 나타낸다. 조화 진동자의 에너지는 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 합으로, 상수 값을 가지며 다음과 같이 표현된다.

E = (1/2)kA² = (1/2)mω²A²

양자역학적인 조화 진동자

양자역학에서 조화 진동자는 시간에 무관한 슈뢰딩거 방정식의 대표적인 해를 가지는 계이다. 포텐셜 에너지는 다음과 같이 주어지며,

V(x) = (1/2)kx² = (1/2)mω²x²

슈뢰딩거 방정식을 풀면 에너지 고유값은 양자화되어 다음과 같이 표현된다.

E_n = (n + 1/2)ħω

여기서 n은 양자수 (0, 1, 2, ...), ħ는 디랙 상수이다. 가장 낮은 에너지 상태 (n=0)는 영점 에너지 (zero-point energy)로 불리며, 그 값은 (1/2)ħω 이다. 이는 양자역학적 조화 진동자가 고전적인 조화 진동자와 달리, 절대 영도에서도 완전히 정지하지 않고 진동한다는 것을 의미한다. 각 에너지 준위에 해당하는 파동함수는 에르미트 다항식으로 표현된다.

응용

조화 진동자 모델은 다양한 물리 현상을 설명하는 데 사용된다. 예를 들어, 분자 내 원자들의 진동, 고체 내 격자 진동 (포논), 전자기장의 양자화 (광자) 등이 조화 진동자 모델로 근사될 수 있다. 또한, 복잡한 진동 시스템의 정상 모드를 분석하는 데에도 핵심적인 역할을 한다.