절대값

절대값은 수직선 위에서 어떤 수와 원점 사이의 거리를 나타내는 개념이다. 즉, 실수의 절대값은 그 수의 부호를 제거한 값으로, 항상 0 또는 양수이다.

정의

실수 a의 절대값은 다음과 같이 정의된다.

• a ≥ 0 이면, |a| = a
• a < 0 이면, |a| = -a

여기서 |a|는 a의 절대값을 나타내는 기호이다.

예시

• |5| = 5 (5와 원점 사이의 거리는 5)
• |-3| = 3 (-3과 원점 사이의 거리는 3)
• |0| = 0 (0과 원점 사이의 거리는 0)

성질

절대값은 다음과 같은 중요한 성질들을 가진다.

• 비음성: 모든 실수 a에 대해, |a| ≥ 0 이다.
• 정의성: |a| = 0 이면, a = 0 이다.
• 절대 동차성: 임의의 실수 a와 k에 대해, |ka| = |k||a| 이다.
• 삼각 부등식: 임의의 실수 a와 b에 대해, |a + b| ≤ |a| + |b| 이다.

활용

절대값은 수학의 여러 분야에서 널리 활용된다. 예를 들어, 함수의 극한과 연속성을 정의할 때, 거리 공간을 정의할 때, 벡터의 크기를 계산할 때 등에 사용된다. 또한, 컴퓨터 프로그래밍에서도 조건문이나 반복문을 제어하는 데 사용될 수 있다.

관련 개념

• 거리
• 함수의 극한
• 연속성
• 벡터의 크기