자리스키 접공간

자리스키 접공간 (Zariski tangent space) 은 대수기하학에서 대수 다양체 위의 점에서의 접공간을 정의하는 한 방법이다. 자리스키 접공간은 미분기하학에서의 접공간과 유사한 역할을 하지만, 미분가능성이라는 개념 없이 대수적인 방식으로 정의된다는 점에서 차이가 있다.

보다 구체적으로, 체 k 위에서 정의된 대수 다양체 X 위의 점 P에서의 자리스키 접공간은 다음과 같이 정의된다. *I(P)*를 P를 포함하는 X의 좌표환에서의 극대 아이디얼이라 하자. 그러면 P에서의 자리스키 접공간은 I(P)/I(P)^2의 쌍대 공간으로 정의된다. 즉,

T_PX = (I(P)/I(P)²)^*

여기서 ( )^*는 k-벡터 공간으로서의 쌍대 공간을 나타낸다.

자리스키 접공간은 대수 다양체의 특이점을 판별하는 데 유용하게 사용된다. 만약 점 P에서의 자리스키 접공간의 차원이 X의 차원과 같다면, P는 X의 비특이점이라고 한다. 그렇지 않은 경우, P는 X의 특이점이라고 한다.

자리스키 접공간은 대수기하학의 여러 분야에서 중요한 역할을 하며, 특히 특이점 이론, 모듈라이 공간 이론 등에서 널리 사용된다.