아핀 리 대수

아핀 리 대수는 유한 차원 단순 리 대수의 일반화로, 물리학, 특히 끈 이론과 공형 장론에서 중요한 역할을 하는 무한 차원 리 대수의 한 종류입니다. 아핀 리 대수는 일반적으로 유한 차원 단순 리 대수에 고리 대수(loop algebra)를 추가하고, 중심 확장(central extension)과 도함수(derivation)를 도입하여 구성됩니다.

아핀 리 대수는 다음과 같은 특징을 가집니다.

• 고리 대수: 유한 차원 단순 리 대수의 각 원소에 로랑 다항식(Laurent polynomial)을 곱하여 얻어지는 대수입니다. 이는 각 원소에 주기적인 성질을 부여하는 역할을 합니다.
• 중심 확장: 고리 대수에 중심 원소(central element)를 추가하여 대수의 교환 관계를 미세하게 변경합니다. 이는 양자화 과정에서 자연스럽게 발생하는 현상을 반영합니다.
• 도함수: 리 대수의 모든 원소에 작용하는 선형 변환으로, 아핀 리 대수의 대칭성을 확장하는 역할을 합니다.

아핀 리 대수는 Dynkin 다이어그램으로 분류될 수 있으며, 각 다이어그램은 특정 아핀 리 대수를 나타냅니다. 이러한 다이어그램은 유한 차원 단순 리 대수의 Dynkin 다이어그램에 하나의 노드(node)를 추가하여 얻어집니다. 추가된 노드는 아핀 루트(affine root)를 나타내며, 이는 아핀 리 대수의 무한 차원 구조를 결정하는 중요한 요소입니다.

아핀 리 대수의 표현론은 복잡하며, 최고 가중치 표현(highest weight representation)과 통합 모듈(integrable module) 등의 개념을 포함합니다. 이러한 표현은 끈 이론과 공형 장론에서 물리적인 상태를 기술하는 데 사용됩니다.

아핀 리 대수는 수학과 물리학의 여러 분야에서 중요한 도구로 사용되며, 그 구조와 표현론은 현재도 활발히 연구되고 있습니다.