뫼비우스 변환

뫼비우스 변환 (Möbius transformation) 또는 선형 분수 변환 (linear fractional transformation)은 복소평면에서 정의되는 특수한 형태의 함수이다. 이는 다음과 같은 식으로 표현된다.

f(z) = (az + b) / (cz + d)

여기서 a, b, c, d는 복소수이며, ad - bc ≠ 0 이다. ad - bc = 0인 경우, 함수는 상수 함수가 되어 의미 있는 변환으로 간주하지 않는다.

주요 특징

• 원과 직선의 보존: 뫼비우스 변환은 일반화된 원 (원 또는 직선)을 일반화된 원으로 변환한다. 즉, 원은 원 또는 직선으로, 직선은 원 또는 직선으로 변환된다.
• 각의 보존: 뫼비우스 변환은 등각 사상 (conformal mapping)이다. 즉, 국소적으로 각을 보존한다.
• 군의 형성: 뫼비우스 변환들은 합성 연산에 대하여 군을 이룬다.
• 세 점 결정: 복소평면 위의 서로 다른 세 점의 상이 주어지면, 뫼비우스 변환은 유일하게 결정된다.

응용 분야

뫼비우스 변환은 복소해석학, 기하학, 수론 등 다양한 분야에서 응용된다. 특히, 리만 구면의 자기 동형 사상을 나타내며, 쌍곡 기하학에서도 중요한 역할을 한다. 또한, 프랙탈 생성이나 이미지 워핑 등의 컴퓨터 그래픽스 분야에서도 활용된다.

예시

• f(z) = z (항등 변환)
• f(z) = 1/z (역수 변환)
• f(z) = az + b (선형 변환)

이러한 기본적인 변환들을 합성하여 다양한 형태의 뫼비우스 변환을 만들 수 있다.