대각지배행렬

대각지배행렬 (영어: Diagonally dominant matrix)은 선형대수학에서 행렬의 특정 성질을 나타내는 용어이다. 정사각행렬에서 각 행의 대각 성분의 절댓값이 그 행의 나머지 모든 성분 절댓값의 합보다 크거나 같은 경우, 그 행렬을 대각지배행렬이라고 한다. 만약 대각 성분의 절댓값이 나머지 성분 절댓값의 합보다 엄격하게 크다면, 엄격한 대각지배행렬(strictly diagonally dominant matrix)이라고 부른다.

정의

n x n 크기의 행렬 A = (a_ij)에 대해, 모든 i = 1, ..., n 에 대해 다음 조건을 만족하면 A는 대각지배행렬이다.

|a_ii| ≥ Σ_j≠i |a_ij|

여기서 |a_ij|는 a_ij의 절댓값을 나타낸다.

만약 모든 i에 대해 다음 조건을 만족하면 A는 엄격한 대각지배행렬이다.

|a_ii| > Σ_j≠i |a_ij|

성질

• 엄격한 대각지배행렬은 항상 가역행렬이다. 다시 말해, 행렬식이 0이 아니다.
• 대각지배행렬이면서 모든 대각 성분이 양수이면, 그 행렬은 양의 정부호 행렬이다.
• 대각지배행렬은 수치해석학에서 반복법을 사용하여 선형 시스템을 풀 때 수렴성을 보장하는 데 중요한 역할을 한다. 특히, Jacobi 방법이나 Gauss-Seidel 방법과 같은 반복법은 계수 행렬이 대각지배행렬일 때 수렴성이 보장된다.

예시

다음 행렬은 대각지배행렬이다.

A = | 4  -2  1 |
    | 1   5 -2 |
    | 1  -2  4 |

첫 번째 행: |4| ≥ |-2| + |1| (4 ≥ 3) 두 번째 행: |5| ≥ |1| + |-2| (5 ≥ 3) 세 번째 행: |4| ≥ |1| + |-2| (4 ≥ 3)

다음 행렬은 엄격한 대각지배행렬이다.

B = | 5  -2  1 |
    | 1   6 -2 |
    | 1  -2  5 |

첫 번째 행: |5| > |-2| + |1| (5 > 3) 두 번째 행: |6| > |1| + |-2| (6 > 3) 세 번째 행: |5| > |1| + |-2| (5 > 3)

응용

대각지배행렬은 다양한 분야에서 응용된다.

• 수치해석: 선형 시스템의 해를 구하는 반복법의 수렴성 분석
• 공학: 회로망 분석, 구조역학 등
• 경제학: 계량경제모형

참고 문헌

• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9