수반 연산자

수반 연산자 (Adjoint Operator)는 선형대수학과 함수해석학에서 중요한 개념으로, 주어진 연산자와 밀접하게 관련된 또 다른 연산자를 의미한다. 특히 복소 벡터 공간 (Complex vector space) 또는 힐베르트 공간 (Hilbert space)에서 정의된 선형 연산자에 대해 그 중요성이 부각된다.

수반 연산자는 다음과 같은 방법으로 정의될 수 있다. 벡터 공간 V와 W 사이의 선형 연산자 A: V → W가 주어졌을 때, W와 V 사이의 선형 연산자 A** (A dagger, A† 또는 A*) 를 A의 수반 연산자라고 하며, 임의의 벡터 v ∈ V와 w ∈ W에 대해 다음을 만족한다.

< Av, w >_W = < v, A** w >_V

여기서 < , >_V와 < , >_W는 각각 벡터 공간 V와 W에서의 내적 (Inner product)을 나타낸다.

수반 연산자의 성질:

• 선형성: 수반 연산자 역시 선형 연산자이다.
• 켤레 전치 행렬: 유한 차원 복소 벡터 공간에서 연산자가 행렬로 표현될 때, 수반 연산자는 원래 행렬의 켤레 전치 행렬 (Conjugate transpose)에 해당한다. 즉, 행렬의 모든 원소의 복소 켤레를 취하고 전치한 행렬이다.
• 자기 수반 연산자 (Self-adjoint operator): A = A** 인 경우, 즉 수반 연산자가 자기 자신과 같은 연산자를 자기 수반 연산자 또는 에르미트 연산자 (Hermitian operator)라고 한다. 자기 수반 연산자는 양자역학에서 물리량을 나타내는 연산자로 중요한 역할을 한다.
• (A + B)* = A* + B*
• (cA)* = c̅A*** (c̅ 는 c의 복소 켤레)
• (AB)* = BA
• (A*)*** = A (힐베르트 공간에서)

응용:

수반 연산자는 수학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히, 양자역학에서는 관측 가능한 물리량에 해당하는 에르미트 연산자를 다루는 데 필수적인 개념이다. 또한, 신호 처리, 제어 이론, 영상 처리 등 공학 분야에서도 널리 사용된다.