뉴턴 항등식

뉴턴 항등식(Newton's identities)은 대수학에서 다항식의 근과 그 근의 거듭제곱 합 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다. 이 항등식들은 다항식의 계수를 알고 있을 때 근의 거듭제곱 합을 구하거나, 반대로 근의 거듭제곱 합을 알고 있을 때 다항식의 계수를 구하는 데 유용하게 사용된다.

정의

n차 다항식

P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0

의 근을 x₁, x₂, ..., xₙ이라고 하자. 이때, k번째 거듭제곱 합을 다음과 같이 정의한다.

p_k = x₁^k + x₂^k + ... + xₙ^k

뉴턴 항등식은 다음과 같은 형태로 표현된다.

• k ≤ n 일 때:

  p_k + a_{n-1}p_{k-1} + a_{n-2}p_{k-2} + ... + a_{n-k+1}p_1 + ka_{n-k} = 0
  

• k > n 일 때:

  p_k + a_{n-1}p_{k-1} + a_{n-2}p_{k-2} + ... + a_1p_{k-n+1} + a_0p_{k-n} = 0
  

예시

예를 들어, 2차 다항식 P(x) = x² + a₁x + a₀ 의 근을 x₁과 x₂라고 할 때, 뉴턴 항등식은 다음과 같이 적용된다.

• k = 1: p₁ + a₁ = 0 => x₁ + x₂ = -a₁
• k = 2: p₂ + a₁p₁ + 2a₀ = 0 => x₁² + x₂² + a₁(x₁ + x₂) + 2a₀ = 0 => x₁² + x₂² = a₁² - 2a₀

활용

뉴턴 항등식은 다음과 같은 분야에서 활용된다.

• 다항식 근의 성질 연구
• 대칭 다항식 이론
• 갈루아 이론
• 조합론 문제 해결
• 컴퓨터 대수 시스템

역사

아이작 뉴턴 경이 이 항등식을 처음 발견하고 사용했기 때문에 그의 이름을 따서 뉴턴 항등식이라고 불린다. 하지만, 비슷한 형태의 공식은 뉴턴 이전에도 알려져 있었다.