갈루아 모듈

갈루아 모듈은 군론과 대수적 수론에서 중요한 개념으로, 군의 작용을 받는 아벨 군을 의미한다. 좀 더 구체적으로 말하면, 군 G의 갈루아 모듈은 아벨 군 A와 군 준동형 사상 G → Aut(A)로 구성된다. 여기서 Aut(A)는 A의 자기 동형사상 군을 나타낸다. 즉, 각 군 원소 g ∈ G는 A의 자기 동형사상 a ↦ g⋅a를 정의하며, 이는 G의 군 연산과 호환된다.

정의

군 G의 갈루아 모듈은 다음과 같이 정의된다.

• A는 아벨 군이다 (덧셈 표기 사용).
• G는 군이다.
• G × A → A, (g, a) ↦ g⋅a는 다음 조건을 만족하는 작용이다.
  • g⋅(a + b) = g⋅a + g⋅b (모든 g ∈ G, a, b ∈ A)
  • (gh)⋅a = g⋅(h⋅a) (모든 g, h ∈ G, a ∈ A)
  • e⋅a = a (여기서 e는 G의 항등원, a ∈ A)

이 작용은 G에서 Aut(A)로의 군 준동형 사상을 유도하며, 이는 G의 각 원소를 A의 자기 동형사상에 대응시킨다.

예시

• 자명한 작용: 임의의 아벨 군 A에 대해, 모든 g ∈ G에 대해 g⋅a = a로 정의하는 작용은 갈루아 모듈을 정의한다.
• 갈루아 군의 작용: 체 확대 L/ K가 주어졌을 때, L의 갈루아 군 Gal(L/ K)은 L에 작용하며, Gal(L/ K)의 각 원소는 K를 고정하는 L의 자기 동형사상이다. 이 작용은 L을 Gal(L/ K)의 갈루아 모듈로 만든다. 특히, L의 곱셈군 L^×와 덧셈군 L⁺는 Gal(L/ K)의 갈루아 모듈이 된다.
• 정수환의 단원군: 대수적 수체 K의 정수환 *O_K*의 단원군 O_K^×은 Gal(K̄ / K) (K̄는 K의 대수적 폐포)의 갈루아 모듈이다.

응용

갈루아 모듈은 대수적 수론, 특히 유체론에서 중요한 역할을 한다. 군 코호몰로지는 갈루아 모듈을 연구하는 데 필수적인 도구이며, 유수 공식, 폰테인-마주르 추측 등 다양한 결과를 얻는 데 활용된다. 또한, 타원 곡선의 모듈러 성질을 연구하는 데에도 사용된다.