확률질량함수
확률질량함수 (Probability Mass Function, PMF)는 이산 확률 변수가 특정 값을 가질 확률을 나타내는 함수이다. 즉, 이산 확률 변수 X가 특정 값 x를 가질 확률, P(X = x)를 x의 함수로 표현한 것이다. 확률 질량 함수는 확률 분포를 완벽하게 설명하며, 모든 가능한 값에 대한 확률의 합은 1이다.
정의:
이산 확률 변수 X의 확률 질량 함수는 다음과 같이 정의된다.
- P(X = x) = p(x)
여기서, p(x)는 확률 질량 함수이며, 다음 조건을 만족해야 한다.
- 0 ≤ p(x) ≤ 1 (모든 x에 대해)
- ∑ p(x) = 1 (모든 가능한 x에 대한 합)
특징:
- 확률 질량 함수는 이산 확률 변수에만 적용 가능하다. 연속 확률 변수의 경우에는 확률 밀도 함수 (Probability Density Function, PDF)를 사용한다.
- 각각의 확률 값은 0과 1 사이의 값을 가진다.
- 모든 가능한 값에 대한 확률의 합은 1이다.
활용:
확률 질량 함수는 확률 변수의 확률 분포를 이해하고 분석하는 데 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 특정 사건이 발생할 확률을 계산하거나, 확률 변수의 기댓값과 분산을 계산하는 데 사용될 수 있다. 또한, 통계적 추론 및 의사 결정 과정에서도 중요한 도구로 활용된다.
예시:
공정한 주사위를 던지는 경우, 각 면이 나올 확률은 모두 1/6이다. 따라서 주사위의 눈금을 확률 변수 X라고 할 때, X의 확률 질량 함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.
- P(X = 1) = 1/6
- P(X = 2) = 1/6
- P(X = 3) = 1/6
- P(X = 4) = 1/6
- P(X = 5) = 1/6
- P(X = 6) = 1/6
이 외의 값에 대해서는 P(X = x) = 0 이다.